Onda d'urto (fluidodinamica)

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Onde d'urto prodotte da un Northrop T-38 Talon durante il volo, 13 dicembre 1993 Wallops Island, Virginia. Spettacolare foto del Dott. Leonard Weinstein del Langley Research Center della NASA. Maggiori informazioni sul sito della NASA http://www1.dfrc.nasa.gov/Gallery/Photo/Schlieren/HTML/EC94-42528-1.html.
Compressione a Mach 1,2 osservata mediante Strioscopia.( ImmagineNASA)

In fluidodinamica ed in aerodinamica un'onda d'urto è una sottile zona di forte variazione dei campi di pressione, temperatura, densità e velocità del fluido. Tale sottile spessore, dell'ordine di 10−6 cm, viene modellato matematicamente come una discontinuità.

Un'onda d'urto può essere normale oppure obliqua alla direzione della velocità relativa tra onda e corrente, e può altresì essere stazionaria oppure spostarsi rispetto ad un corpo che la genera. Le onde sonore, essendo identificabili come piccoli disturbi di pressione e di velocità, in quanto queste ultime grandezze sono legate nelle equazioni che governano del fenomeno, rappresentano delle onde d'urto che, per la loro bassa intensità, possono essere considerate isoentropiche, cioè onde che non modificano sensibilmente l'entropia del flusso che le attraversa o che attraversano (sono anche dette onde di Mach). Il meccanismo delle onde d'urto oblique è in grado di deviare un flusso supersonico.

Di particolare interesse sono anche le onde d'urto adiabatiche, cioè quelle che si possono verificare in una corrente di fluido animata da moto omoenergetico.

Indice

[modifica] Onda d'urto normale

Si consideri la figura a sinistra. Si immagini un serbatoio a monte del condotto di figura che per qualche motivo si svuoti generando un flusso di fluido (che considereremo gas perfetto) all'interno del condotto. Dette 1 e 2 le due sezioni di controllo, detta T0 la temperatura totale nel serbatoio, e p0 la pressione totale, detto τ il volume di controllo, e siano le variazioni di sezione fra 1 e 2 trascurabili, individuando con \vec n_1 la normale alla sezione 1 e con \vec n_2 alla sezione 2, si immagini che, a causa delle condizioni di pressione a valle del condotto, o delle condizioni di raccordo del condotto stesso, il fluido sia costretto a cambiare repentinamente le sue proprietà di pressione, velocità e temperatura all'interno di un piccolo volume (indicato appunto con τ).

Chiameremo questa zona di discontinuità onda d'urto normale.

Supponendo il flusso stazionario, e cioè nulle le derivate delle quantità rispetto al tempo, facciamo il bilancio della massa e della quantità di moto. Ipotizzando un flusso all'ingresso del volume di controllo supersonico unidimensionale, indicheremo con ρ la densità del fluido, con u la velocità e con A la sezione.

Bilancio di massa:

\rho _1 u_1 A_1 = \rho _2 u_2 A_2 \,\!.

Coincidendo A1 con A2 il bilancio diviene

\rho_1 u_1=\rho _2 u_2=G \,\!

dove G è una costante invariante a monte e a valle del volume di controllo.

Bilancio della quantità di moto:

A_2 ( p_2 + \rho _2 u_2^2) \vec n_2 - A_1 ( p_1 + \rho _1 u_1^2) \vec n_1 = \vec R + M \vec g \,\!

Abbiamo indicato con \vec R la risultante delle azioni del condotto sul fluido, con M la massa di fluido, e con \vec g l'accelerazione di gravità.

Trascuriamo ora il peso del fluido e l'azione del condotto sul fluido stesso, agendo essa sull'area laterale del volume, di ordine inferiore rispetto alle aree frontali. Dunque poiché A1 = A2 e \vec n_1 = \vec n_2 allora il bilancio della quantità di moto diviene semplicemente p_2 + \rho _2 u_2^2 = p_1 + \rho _1 u_1^2 = I invariante a monte e a valle del volume di controllo.

Facciamo ora il bilancio dell'energia:

\rho _2 A_2 u_2 h_{02} - \rho _1 A_1 u_1 h_{01} = M \dot q dove h0 è l'entalpia totale e \dot q la derivata temporale del calore introdotto. Essendo \dot q = 0 (condotto adiabatico) semplicemente h_{02} = h_{01} = h_0 \,\!.

Abbiamo dunque tre invarianti: G, I, e h0. Ricordiamo la definizione di velocità del suono critica ac:

((\gamma - 1) / 2 )u^2=a_0^2=((\gamma + 1) / 2 )a_c^2.

Ho indicato con a0 la velocità del suono ad entalpia totale e \gamma = \frac {c_p}{c_v}.

Inoltre a^2=\gamma r T = \gamma \frac{u}{G} (I - Gu) e dunque giungiamo all'equazione che regola le onde d'urto normali:

u^2 - \frac {2 \gamma}{\gamma +1} \frac {I}{G}u + a_c^2 = 0.

Chiamo u1 e u2 le due soluzioni dell'equazione (reali e distinte oppure reali e coincidenti), poiché per la nota proprietà delle equazioni di secondo grado u_1 u_2 = a_c^2, allora in un urto normale è M_1c M_2c=1 \,\!, dove con Mc ho indicato il numero di Mach critico, definito come M_c=\frac {u}{a_c}. Da questa relazione notiamo subito che un flusso attraverso un'onda d'urto normale passa da supersonico a subsonico o viceversa (ma quest'ultima alternativa è impossibile perché viola il 2º principio della termodinamica).

[modifica] Relazioni per l'urto normale

La relazione che lega i numeri di Mach "veri" è la seguente:

M_2^2= \frac {1+ \frac { \gamma -1}{2}M_1^2}{ \gamma M_1^2 - \frac { \gamma -1}{2}}.

Osservando tale relazione si nota che per M_1 \to \ 1 allora anche M_2 \to \ 1 (in questo caso avremo una zona di debole discontinuità, fenomeno quasi isoentropico chiamato "onda di Mach"). Se invece M_1 \to \ \infty allora M_2 \to \ (\frac { \gamma - 1}{2 \gamma})^{ \frac {1}{2}}.

Per quanto riguarda le velocità:

\frac {u_1}{u_2} = \frac { \gamma + 1}{2} \frac {M_1^2}{1 + \frac {\gamma -1}{2}M_1^2}

La velocità dunque attraverso un urto normale diminuisce.

Per le pressioni:

\frac {p_2-p_1}{p_1} = \frac {2 \gamma}{\gamma + 1}(M_1^2-1).

La pressione aumenta, dunque, attraverso l'onda.

Dalle leggi di Poisson si ricava poi:

\frac {p_{01}}{p_{02}} = \left[ 1 + \frac {2 \gamma }{ \gamma + 1 }(M_1^2 - 1) \right]^{ \frac {1}{ \gamma - 1}} \left[ \frac {( \gamma - 1)M_1^2 + 2}{( \gamma + 1)M_1^2} \right]^{ \frac { \gamma}{ \gamma - 1 }}

Se M1 > 1 allora anche p01 > p02 e viceversa se M1 < 1. Indicando con σ l'entropia, poiché \Delta \sigma = \sigma _2 - \sigma _1 = r \ln \left( \frac {p_{01}}{p_{02}} \right) e che Δσ > 0 per il secondo principio della termodinamica, allora è che p02 < p01 e dunque M1 > 1. Sono dunque possibili onde d'urto normali solo con flusso in ingresso supersonico.

Per quanto riguarda la temperatura:

p_1 u_1 - p_2 u_2 = G r ( T_1-T_2) \,\!

Da cui T1 < T2 perché il primo membro dell'equazione detta è negativo. Dunque la temperatura aumenta attraverso l'onda.

[modifica] Onde d'urto oblique

Le onde d'urto oblique sono zone di discontinuità del campo fluidodinamico poste con un angolo diverso da 90° rispetto al flusso. Considerando la figura a destra, si chiami v la velocità di un sistema di riferimento che trasli senza accelerare rispetto ad un'onda d'urto normale. Chiamo u1 la velocità del fluido in ingresso rispetto ad un riferimento fermo, mentre w1 la velocità vista secondo il sistema di riferimento traslante. L'osservatore solidale con il sistema di riferimento traslante vede entrare un flusso con angolo β rispetto all'onda, e lo vede uscire deviato di un angolo θ. Rispetto alla trattazione fatta nel paragrafo precedente, cambieranno le quantità relative alle velocità, ma non quelle relative all'entalpia o all'entropia. Chiamo h_0=h + \frac {w_1^2}{2} la nuova entalpia totale, sempre invariante, mentre individuo in h_{0n}=h + \frac {u_1^2}{2} l'entalpia totale relativa alla parte normale della velocità del fluido. Poiché energeticamente non è cambiato nulla rispetto alla situazione precedente, il salto di entropia sarà lo stesso.

[modifica] Relazioni per le onde d'urto oblique

Dunque la relazione che lega il numero di Mach d'entrata e uscita nel sistema di riferimento mobile sarà:

M_2^2 \mathrm{sen}^2 (\beta - \theta) = \frac {1 + \frac{\gamma-1}{2}M_1^2 \mathrm{sen}^2 (\beta)}{\gamma M_1^2 \mathrm{sen}^2(\beta)+ \frac{\gamma-1}{2}}
M1n > 1 implica che M_1 \mathrm{sen}(\beta)>1 \Rightarrow \ \mathrm{sen}(\beta) \ge \ \frac{1}{M_1} = \mathrm{sen} (\mu_1) \Rightarrow \ \beta \ge \ \mu_1 dove μ1 è l'angolo del cono di Mach a monte dell'onda.

Il salto di densità è dato da:

\frac {\rho_2}{\rho_1} = \frac {\frac{\gamma+1}{2}M_1^2 \mathrm{sen}^2 (\beta)}{1+ \frac {\gamma-1}{2} M_1^2 \mathrm{sen}^2 (\beta)}

La pressione varia secondo la relazione:

\frac {p_2-p_1}{p_1}= \frac {2 \gamma}{\gamma +1 }(M_1^2 \mathrm{sen}^2(\beta) -1)

[modifica] Relazione fra angolo di deviazione del flusso e angolo di inclinazione dell'onda obliqua

La relazione tra θ e β, il cui grafico troviamo a sinistra, è la seguente:

\tan (\theta)= 2 \cot(\beta) \frac{M_1^2 \mathrm{sen}^2 (\beta) - 1}{M_1^2 (\gamma + \cos2 (\beta)) +2}

Fissato un certo Mach in ingresso, come vedo dal grafico data la svolta θ ho due possibili soluzioni: una con il flusso in uscita supersonico ed una con flusso in uscita subsonico (una con β maggiore, ed una con β minore). Inoltre individuo un angolo di svolta massimo, indicato nel grafico come θmax. Il significato fisico di questo angolo massimo è molto importante, e si intuisce immediatamente che un flusso supersonico deviato da un'onda obliqua non potrà effettuare svolte superiori al θmax indicato in figura.

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Onda_d%27urto_(fluidodinamica)"
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