Icosaedro rombico

Icosaedro rombico
Tipo	Poliedro convesso
Forma facce	Rombi congruenti
Nº facce	20
Nº spigoli	40
Nº vertici	22
Valenze vertici	3,4,5
Duale	Pentatriromboedro ellissoidale

In geometria l'icosaedro rombico, [Pltp.22.40.20], detto anche icosaedro d'oro, per la particolare caratteristica delle facce, è un poliedro convesso, ordinario, equilatero, equiedro, non inscrittibile alla sfera, a forma ellissoidale di rotazione, le cui facce sono dei rombi congruenti.

L'icosaedro rombico corrisponde al 5-zonoedro e, come il romboedro (che comprende il cubo) e il dodecaedro rombico, fanno parte della classe dei poliedri rombici (insieme al triacontaedro rombico).

L'icosaedro rombico è stato definito e studiato, nel 1885, dal matematico russo E. S. Fedorov (1853–1919).

Caratteristiche

• L'icosaedro rombico è interposto in un fascio di sei piani paralleli, $\pi _{0}$, $\pi _{1}$, $\pi _{2}$, $\pi _{3}$, $\pi _{4}$, $\pi _{5}$, equidistanti tra loro, perpendicolari all'asse $G$ del poliedro.
  • I piani $\pi _{0}$ e $\pi _{5}$ intercettano, ciascuno, un vertice del poliedro.
  • I piani $\pi _{1}$ e $\pi _{4}$ intercettano, ciascuno, cinque vertici del poliedro che sono vertici di un pentagono regolare di lato $d$.
  • I piani $\pi _{2}$ e $\pi _{3}$ intercettano, ciascuno, cinque vertici del poliedro che sono vertici di un pentagono regolare di lato $D$.
• L'icosaedro rombico stesso è inserito (parzialmente inscritto) in un ellissoide di rotazione di semiassi $a$, $b$, $c=b$, il cui asse di rotazione è l'asse $G$ del poliedro.
  • Appartengono all'ellissoide soltanto i dodici vertici del poliedro intercettati dai piani $\pi _{0}$, $\pi _{2}$, $\pi _{3}$ e $\pi _{5}$, mentre i dieci vertici intercettati dai piani $\pi _{1}$ e $\pi _{4}$ rimangono interni all'ellissoide, leggermente scosati dalla superficie di questo.
• Dualità: l'icosaedro rombico in contesto è duale del poliedro pentatriromboedro ellissoidale, che, nella terminologia generale, potrebbe denominarsi antiprisma tritrapezoide pentagonale, avente cioè, per facce: 2 pentagoni regolari, 10 trapezoidi, che nel caso specifico sono rombi, e 10 triangoli isosceli che, nel caso specifico, sono triangoli equilateri (all'antiprisma tritrapezoide triangolare corrisponderebbe l'ottaedro, mentre all'antiprisma tritrapezoide quadrangolare corrisponderebbe il cubottaedro).

Pertinenze dimensionali

Le diagonali $D$ e $d$ di ciascuna faccia sono in rapporto aureo, vale cioè la relazione:

${\frac {D}{d}}={\frac {d}{D-d}},$

da cui

$d={\frac {D}{2}}({\sqrt {5}}-1),$

oppure

$D={\frac {d}{2}}({\sqrt {5}}+1).$

A tale determinazione si perviene mediante laboriosi calcoli algebrici, trigonometrici e di geometria analitica, che forniscono le seguenti dimensioni:

• Lunghezza del lato della faccia: $L$.
• Numero lati del poligono di riferimento: 5.
• Lunghezza diagonale maggiore della faccia:

$D={\frac {L}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}.$

• Lunghezza diagonale minore della faccia:

$d={\frac {L}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}.$

• Ampiezza angoli $\alpha$ e $\beta$ della faccia:

$\arcsin(\alpha /2)=d/2,\qquad \arcsin(\beta /2)=D/2,$

dalle quali:

$\alpha \approx 63,42^{\circ }\approx 63^{\circ }25',\qquad \beta \approx 116,58^{\circ }\approx 116^{\circ }35'.$

• Distanza fra i piani del fascio:

$H={\frac {L}{5}}{\sqrt {5}}.$

• Lunghezza dell'asse del poliedro:

$G=5H=L{\sqrt {5}}.$

• Equazione dell'ellissoide di rotazione:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

dove

$a={\frac {L}{2}}{\sqrt {5}},$

$b=c={\frac {L{\sqrt {3}}}{6}}(5+3{\sqrt {5}}).$

• Indice di deformazione (o di schiacciamento essendo minore di 1):

$g={\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {9-3{\sqrt {5}}}}\approx 0,75694.$

Modello

La costruzione, sia del modello in cartoncino o altro materiale (gesso, argilla, ecc.), che del modello in filo metallico dello scheletro essenziale (vertici e spigoli) del poliedro, non presenta particolari difficoltà.

Scheletro dell'icosaedro rombico

Bibliografia

• [Bibl.1] - Henry M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
• [Bibl.2] - Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
• [Bibl.3] -, Giochi d’ingegno (Espana: Juegos de ingenio) – N°.90, Milano, Fabbri, 2008, ISSN 1723-9184.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Icosaedro rombico, su MathWorld, Wolfram Research.