Funzione sinc

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La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso).

In matematica la funzione sinc (o seno cardinale), indicata come \mathrm{sinc}(x) o, più raramente, con \mathrm{Sa}(x), può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:

\mathrm{sinc}(x) = \begin{cases}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} &\text{ se } x \neq 0\, \\ 1 &\text{ se } x = 0 \end{cases}

mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

\mathrm{sinc}(x) = \begin{cases}\frac{\sin(x)}{x} &\text{ se } x \neq 0\, \\ 1 &\text{ se } x = 0 \end{cases}

In entrambi i casi, il limite della funzione nel punto 0, che è una singolarità eliminabile, calcolabile attraverso la regola di de l'Hôpital, è uguale a 1. La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di \pi; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.
\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)

oppure utilizzando la funzione gamma

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}(t) e^{-2\pi i f t} dt = \mathrm{rect}(f)

dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra -\frac{1}{2} e \frac{1}{2}. Questo integrale di Fourier include il caso speciale

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} dx = \mathrm{rect}(0) = 1

che è un integrale improprio. Poiché

\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| dx = +\infty

non si tratta di un integrale di Lebesgue.

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