Integrale di Borwein

Nella matematica, un integrale di Borwein è un integrale che coinvolge prodotti di $\mathrm {sinc} (ax)$, dove la funzione sinc è data da $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ per $x\neq 0$, e $\mathrm {sinc} (0)=1$.

Questi integrali sono importanti per esibire schemi apparenti che, tuttavia, alla fine falliscono. Un esempio è ciò che segue,

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

Questo schema continua fino a

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Tuttavia, al passo successivo lo schema evidente fallisce,

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

In generale, integrali analoghi valgono $\pi /2$ ogni qualvolta che $3,5,7,\ldots$ siano sostituiti da numeri reali positivi tali che la somma dei loro reciproci sia strettamente minore di 1.

Nell'esempio precedente, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{13}}<1$, ma ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1$.

L'esempio con una serie più estesa

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$

con tuttavia

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},$

è mostrato in insieme a una spiegazione matematica intuitiva del motivo per cui nella serie originale e in quella estesa lo schema fallisce. In questo caso, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{111}}<2$, ma ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{113}}>2$.

Formula generale

Data una sequenza di numeri reali, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, si può fornire una formula generale per l'integrale

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx$

Per affermare la formula, serve considerare delle somme che coinvolgono $a_{k}$. In particolare, se $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ è una $n$-vettore dove ogni elemento è $\pm 1$, allora si scrive $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$, che è una specie di somma alternata dei primi $a_{k}$, e si imposta $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$, che è anch'esso $\pm 1$. Con questa notazione, il valore dell'integrale di sopra è

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}$

dove

$C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })$

Nel caso in cui $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$, si ha $C_{n}=1$.

Inoltre, se esiste un $n$ tale che per ogni $k=0,\ldots ,n-1$ si ha $0<a_{n}<2a_{k}$ e $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$, cioè che $n$ è il primo valore per cui la somma dei primi $n$ elementi della sequenza supera $a_{0}$, allora $C_{k}=1$ per ogni $k=0,\ldots ,n-1$ ma

$C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$

Il primo esempio è il caso in cui $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$. Da notare che se $n=7$ allora $a_{7}={\frac {1}{15}}$ e ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$ ma ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$, quindi poiché $a_{0}=1$, si ottiene

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

che rimane vera se si toglie qualunque fattore, tuttavia

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}$

che è uguale al valore dato precedentemente.

Bug di Maple

Fu schedato come bug per il supporto Maple. Ci sono voluti tre giorni allo sviluppatore Jacques Carette per capire che non fosse un errore .

Voci correlate

• Funzione sinc
• Integrale improprio
• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche