Prodotto infinito

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In matematica si dice prodotto infinito relativo ad una successione di numeri reali o complessi a1, a2, a3, ... l'entità che si denota con


\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \; a_2 \; a_3 \cdots

e che si definisce come il limite dei prodotti parziali a1a2...an per n tendente all'infinito. Il prodotto si dice convergente quando esiste un intero m tale che la successione


\{\prod_{n=m}^{q} a_n\}_q

abbia un limite diverso da 0 e da ±∞. In caso contrario si dice che il prodotto è divergente. In questo modo un prodotto infinito convergente è nullo se e solo se si ha an=0 per un qualche n. Con tale definizione molte delle proprietà delle somme di serie infinite si possono trasformare in analoghe proprietà per i prodotti infiniti.

Se il prodotto infinito converge, allora il limite della successione an per n tendente all'infinito deve essere 1, mentre il fatto che la successione tenda a 1 non implica necessariamente che il prodotto infinito converga. Di conseguenza, per una prodotto infinito convergente, esiste m tale che per nm si abbia an>0. Dunque, per tali valori di n è definito il logaritmo log an e si ha

\log \prod_{n=m}^{\infty} a_n = \sum_{n=m}^{\infty} \log a_n

con il prodotto a primo membro che converge se e solo se la somma al secondo membro converge. Questa situazione simmetrica consente di tradurre i criteri di convergenza per le somme infinite in criteri di convergenza per i prodotti infiniti.

Per prodotti nei quali per ogni n si ha a_n\ge1, introducendo i numeri p_n := a_n-1, per i quali deve essere p_n\ge 0, si trovano le disuguaglianze

1+\sum_{n=1}^{N} p_n \le \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \le \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

e queste mostrano che il prodotto infinito converge se e solo se converge la successione dei pn.

Prodotti infiniti notevoli[modifica | modifica sorgente]

Gli esempi più noti di prodotti infiniti sono probabilmente dati da alcune delle formule trovate per π, come le seguenti ottenute, rispettivamente, da François Viète (v. formula di Viète) e John Wallis (v. prodotto di Wallis):

\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots
\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right)

Prodotti infiniti per il seno:

\sin x = x \cdot \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\sin x = x \cdot \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right)
\left|\sin x\right| = \frac1{2} \prod_{n=0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left| \tan (\displaystyle 2^{n} x) \right|}

Prodotto infinito per il coseno:

\cos x = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{4x^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)

Il prodotto di Pippenger

\frac{e}{2}=\left(\frac{2}{1}\right)^{1/2} \left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}\right)^{1/4} \left(\frac{4  \cdot 6  \cdot 6  \cdot 8}{5 \cdot 5  \cdot 7   \cdot 7}\right)^{1/8}\cdots

Rappresentazione di funzioni mediante prodotti[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di fattorizzazione di Weierstrass.

Un risultato importante sui prodotti infiniti consiste nel fatto che ogni funzione intera f (cioè ogni funzione olomorfa sull'intero piano complesso) si può fattorizzare come prodotto infinito di funzioni intere ciascuna delle quali presenta al più un singolo zero. In generale, se f presenta uno zero di ordine m nell'origine e possiede altri zeri complessi nei punti u1, u2, u3, ... (elencati con le molteplicità uguali ai loro ordini), allora


f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n} \right) \;
\exp \left\lbrace \frac{z}{u_n} + \frac12\left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + \cdots + \frac1{\lambda_n}\left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\rbrace

dove i λn sono interi non negativi che si possono scegliere per rendere il prodotto convergente, e φ(z) è qualche funzione analitica univocamente determinata (il che significa che il fattore che precede il prodotto non presenta zeri nel piano complesso). La precedente fattorizzazione non è unica, in quanto dipende dalla scelta dei λn e non è particolarmente elegante. Per gran parte delle funzioni, tuttavia, si trova qualche intero non negativo minimo p tale che λn = p fornisce un prodotto convergente; questo viene chiamato la rappresentazione canonica mediante prodotto. Questo p viene chiamato rango del prodotto canonico. Inoltre, se φ(z) è un polinomio, il grado di φ si dice ordine di f. Nel caso che sia p = 0, questo prende la forma


f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right)

Questa può essere considerata come una generalizzazione del teorema fondamentale dell'algebra, in quanto per le funzioni polinomiali il prodotto diventa finito e la funzione φ(z) si riduce a una costante. Rappresentazioni di questo tipo sono:

Funzione seno \sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right) Eulero - la formula di Wallis per π è un caso particolare di questa.
funzione Gamma 1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n} Oscar Schlömilch.

Un altro esempio di prodotto infinito di funzioni è

funzione zeta di Riemann \zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})} Prodotto di Eulero - Qui i pn costituiscono la successione dei numeri primi.

Si osservi che questa rappresentazione non è una rappresentazione nella forma di Weierstrass.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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