Duopolio di Stackelberg

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Il duopolio di Stackelberg è un modello economico, utilizzato anche in teoria dei giochi, inventato nel 1934 da Heinrich Freiherr von Stackelberg.

Esso descrive un mercato in cui vi sono due imprese, una leader, che sceglie per prima, ed una follower q_2 che muove per seconda, dopo aver visto cosa ha fatto la leader q_1.

Come nel modello del duopolio di Cournot le imprese scelgono la quantità e non i prezzi.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Equilibrio di Stackelberg

Ipotizziamo la seguente domanda di mercato: P(q)= a - q = a - q_1 - q_2

Supponendo che i payoff delle imprese coincidano con il loro profitto, definiamo il profitto come:

\Pi_i (q_1,q_2) = q_i [(a - q_1 - q_2) - c]

La coppia di quantità (q_1;q_2) è un equilibrio di Nash se massimizza i profitti di entrambe le imprese. Per calcolarne i valori sviluppiamo la domanda per l'impresa 2 (follower):

\Pi_2 (q_1,q_2) = aq_2 - (q_2)^2 - q_1 q_2 - c q_2

Quindi la massimizziamo derivando su q_2:

\frac{\partial \Pi_2 }{\partial q_2} \Rightarrow q_2 = \frac{ a - q_1 - c}{2} [*]

Fino a qui l'esempio è identico al duopolio di Cournot. Nel modello Stackelberg invece si chiede ora di massimizzare i profitti dell'impresa 1 (leader) tenendo conto della massimizzazione dell'impresa 2. Ciò si effettua inserendo la q_2 sopracitato all'interno dell'equazione di profitto q_1:

\Pi_1 (q_1,\frac{ a - q_1 - c}{2}) = q_1 \left [ \left (a - \left (\frac{ a - q_1 - c}{2} \right) - q_1 \right ) - c \right] = a q_1 - q_1 \left (\frac{ a - q_1 - c}{2} \right ) - (q_1)^2 - c q_1
\frac{\partial \Pi_1 }{\partial q_1} \Rightarrow q_1 = \frac{ a - c}{2}

A questo punto troviamo q_2 della follower sostituendo il  q_1 che abbiamo appena trovato all'interno dell'equazione [*] del modello di Cournot:

q_2 = \frac{a - (\frac {a - c}{2}) - c}{2} = \frac{a - c}{4}

Ipotizzando a = 1 e c = 0 l'equilibrio di dupolio di Stackelberg è pari a:

 q_1 = \frac {1} {2}
 q_2 = \frac {1} {4}
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