Angolo aureo

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Angolo aureo
Immagine dell'Angolo aureo
gra rad gon
137° 30' 27,95
(137,51)
2,34 152.78
Angolo ottuso
Supplementare 42° 29' 32,05" (42,49)
Esplementare 222° 29' 32,05" (222,49)
Valori trigonometrici
Seno 0.675490
Coseno -0.737369
Tangente -0.916082
Cotangente 89.583334

In geometria, l'angolo aureo è l'angolo avente rispetto all'angolo giro lo stesso rapporto che si ha nella sezione aurea. Dati una circonferenza c e due archi di circonferenza a e b - è definito come l'angolo al centro sotteso dall'arco b a condizione che:

a+b = c \quad \land \quad b<c

E tale che

\frac{c}{b}=\frac{b}{a}

Il valore numerico[modifica | modifica sorgente]

Data l'equivalenza sopracitata

\frac{c}{b}=\frac{b}{a}

è noto che il rapporto aureo (\varphi) è uguale al rapporto tra a e b:

\varphi=\frac{a}{b}

Poniamo invece f il rapporto tra l'intera circonferenza c ed il segmento minore b, ovvero la parte di circonferenza occupata dall'arco b:

f=\frac{b}{c}=\frac{b}{a+b}

Ma, come si deduce dalla definizione di rapporto aureo:

a=\varphi \cdot b

Sostituiamo allora a, fattorizziamo e semplifichiamo:

f=\frac{b}{\varphi \cdot b+b}=\frac{b}{b(\varphi + 1)}=\frac{1}{\varphi+1}

Ma, dalle proprietà del rapporto aureo:

\varphi^2=\varphi + 1

l'equivalenza diventa allora

f=\frac{1}{\varphi^2}

Ciò significa che in un cerchio si possono inserire \varphi^2 angoli aurei, ossia che un angolo aureo occupa \frac{1}{\varphi^2}=\frac{1}{2.618033} di circonferenza. A partire da questo, si può determinare il valore numerico dell'angolo aureo, in gradi e radianti:

g \approx \frac{1}{2.618033} \cdot 360^\circ \approx 137.51^\circ
g \approx \frac{1}{2.618033} \cdot 2\pi \approx 2.3999 \left[rad\right]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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