Singoletto: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], un '''singoletto''' (o singleton) è un [[insieme (matematica)|insieme]] contenente esattamente un unico elemento. Per esempio, l'insieme {0} è un singoletto. Si noti che anche l'insieme <nowiki>{{1,2,3}}</nowiki> è un singoletto: l'unico elemento in esso contenuto è un insieme (che invece non è un singoletto). |
In [[matematica]], un '''singoletto''' (oppure '''singoletta'''<ref>{{Cita|M. Manetti|p. 19|manetti}}</ref> o in inglese '''singleton''') è un [[insieme (matematica)|insieme]] contenente esattamente un unico elemento. Per esempio, l'insieme {0} è un singoletto. Si noti che anche l'insieme <nowiki>{{1,2,3}}</nowiki> è un singoletto: l'unico elemento in esso contenuto è un insieme (che invece non è un singoletto). |
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Un insieme è un singoletto se e solo se la sua [[cardinalità]] è 1. Nella costruzione insiemistica dei [[numeri naturali]], il numero 1 è ''definito'' come il singoletto {0}. |
Un insieme è un singoletto se e solo se la sua [[cardinalità]] è 1. Nella costruzione insiemistica dei [[numeri naturali]], il numero 1 è ''definito'' come il singoletto {0}. |
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Le strutture definite sui singoletti fungono spesso da [[oggetto iniziale|oggetti terminali]] o [[oggetto iniziale|oggetti nulli]] di varie [[teoria delle categorie|categorie]]: |
Le strutture definite sui singoletti fungono spesso da [[oggetto iniziale|oggetti terminali]] o [[oggetto iniziale|oggetti nulli]] di varie [[teoria delle categorie|categorie]]: |
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* La precedente affermazione mostra che i singoletti sono esattamente gli oggetti terminali nella categoria |
* La precedente affermazione mostra che i singoletti sono esattamente gli oggetti terminali nella categoria [[categoria di insiemi|Insieme]] di [[insieme (matematica)|insiemi]]. Nessun altro insieme è terminale. |
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* Ogni singoletto può essere convertito in uno [[spazio topologico]] solo in un modo (tutti i sottoinsiemi sono aperti). Tali particolari spazi topologici sono oggetti terminali nella categoria degli spazi topologici e delle funzioni continue. Nessun altro spazio è terminale in tale categoria. |
* Ogni singoletto può essere convertito in uno [[spazio topologico]] solo in un modo (tutti i sottoinsiemi sono aperti). Tali particolari spazi topologici sono oggetti terminali nella categoria degli spazi topologici e delle funzioni continue. Nessun altro spazio è terminale in tale categoria. |
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* Ogni singoletto può essere convertito in un [[gruppo (matematica)|gruppo]] solo in un modo (l'unico elemento disponibile è l'[[elemento neutro]]). Tali particolari gruppi sono gli [[Oggetto iniziale|oggetti nulli]] nella categoria dei gruppi e degli [[omomorfismo|omomorfismi fra gruppi]]. Nessun altro gruppo è terminale in tale categoria. |
* Ogni singoletto può essere convertito in un [[gruppo (matematica)|gruppo]] solo in un modo (l'unico elemento disponibile è l'[[elemento neutro]]). Tali particolari gruppi sono gli [[Oggetto iniziale|oggetti nulli]] nella categoria dei gruppi e degli [[omomorfismo|omomorfismi fra gruppi]]. Nessun altro gruppo è terminale in tale categoria. |
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In [[meccanica quantistica]] un singoletto è una configurazione di [[spin]] o di [[isospin]] composta da un solo [[stato]]. Vedi [[Molteplicità di spin]]. |
In [[meccanica quantistica]] un singoletto è una configurazione di [[spin]] o di [[isospin]] composta da un solo [[stato]]. Vedi [[Molteplicità di spin]]. |
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Versione delle 10:27, 10 ott 2014
In matematica, un singoletto (oppure singoletta[1] o in inglese singleton) è un insieme contenente esattamente un unico elemento. Per esempio, l'insieme {0} è un singoletto. Si noti che anche l'insieme {{1,2,3}} è un singoletto: l'unico elemento in esso contenuto è un insieme (che invece non è un singoletto).
Un insieme è un singoletto se e solo se la sua cardinalità è 1. Nella costruzione insiemistica dei numeri naturali, il numero 1 è definito come il singoletto {0}.
Nella teoria assiomatica degli insiemi, l'esistenza di singoletti discende dall'assioma dell'insieme vuoto e l'assioma della coppia: il primo fornisce l'insieme vuoto {}, e il secondo, applicato alla coppia {} e {}, genera il singoletto {{}}.
Se A è un insieme arbitrario e S è un qualsiasi singoletto, allora esiste esattamente una funzione da A a S, la funzione che associa ogni elemento di A all'unico elemento di S.
In topologia, uno spazio è uno spazio T1 se e solo se ogni singoletto è chiuso.
Le strutture definite sui singoletti fungono spesso da oggetti terminali o oggetti nulli di varie categorie:
- La precedente affermazione mostra che i singoletti sono esattamente gli oggetti terminali nella categoria Insieme di insiemi. Nessun altro insieme è terminale.
- Ogni singoletto può essere convertito in uno spazio topologico solo in un modo (tutti i sottoinsiemi sono aperti). Tali particolari spazi topologici sono oggetti terminali nella categoria degli spazi topologici e delle funzioni continue. Nessun altro spazio è terminale in tale categoria.
- Ogni singoletto può essere convertito in un gruppo solo in un modo (l'unico elemento disponibile è l'elemento neutro). Tali particolari gruppi sono gli oggetti nulli nella categoria dei gruppi e degli omomorfismi fra gruppi. Nessun altro gruppo è terminale in tale categoria.
In meccanica quantistica un singoletto è una configurazione di spin o di isospin composta da un solo stato. Vedi Molteplicità di spin.
Bibliografia
- Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
Note
- ^ M. Manetti, p. 19
