Bereziniano

In matematica e fisica teorica, il bereziniano o il superdeterminante è una generalizzazione del determinante al caso di una supermatrice. Il nome deriva dal matematico Felix Berezin. Il bereziniano svolge un ruolo analogo a quello del determinante nel valutare i cambiamenti di coordinate per le integrazioni su una supervarietà.

Definizione

Il bereziniano è definito univocamente dalla definizione delle seguenti due proprietà:

• $\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$
• $\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }$

dove con str(X) indichiamo la supertraccia di X. A differenza del determinante classico, il Bereziniano è definito solo per una supermatrice invertibile.

Il caso più semplice da considerare è il bereziniano di una supermatrice con valori in un campo K. Le supermatrici di questo tipo rappresentano trasformazioni lineari di un superspazio vettoriale su K. Una particolare forma di supermatrice è una matrice a blocchi del tipo:

$X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}$

Tale matrice è invertibile se e solo se A e D sono matrici invertibili su K. In questo caso particolare il bereziniano di X è dato da:

$\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}$.

La ragione dell'esponente negativo deriva dalla formula di sostituzione nel caso degli integrali di Grassman.

Più in generale se si considerano le matrici scritte in un'algebra supercommutativa R, una supermatrice è scritta nella forma:

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

dove A e D sono matrici simmetriche, mentre B e C sono matrici antisimmetriche. Siccome la matrice X è invertibile se e solo se A a D sono invertibili in un anello commutativo R₀ (la parte pari della sottoalgebra di R). In questo caso il bereziniano è dato da:

$\operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}$

o, equivalentemente, è:

$\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.$

Queste formule sono ben definite in quanto esse sono relative ai determinanti di matrici i cui elementi sono nell'anello commutativo R₀.

Numero di Grassmann

In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità $\theta _{i}$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari $x_{j}$,

$\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

$\theta _{i}\theta _{i}=0.$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2ⁿ. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

$\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$

$\theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3}\theta _{1}$

$\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}$

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 2³=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4:

$\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da matrici quadrate 2ⁿ × 2ⁿ. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2ⁿ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Bibliografia

• Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
• D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
• A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
• V. S. Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction, Courant Lecture Notes in Mathematics 11, American Mathematical Society, 2004, ISBN 0-8218-3574-2.

Voci correlate

• Algebra di Grassmann
• Integrale di Berezin
• Numeri di Grassmann
• Superspazio

Collegamenti esterni

• (EN) D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
• (EN) M. F. Sohnius, Introducing supersymmetry, su sciencedirect.com, Elsevier B.V., 1985. URL consultato il 23 gennaio 2021 (archiviato dall'url originale il 15 settembre 2012).