Quadrimpulso

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Nella relatività ristretta il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla traiettoria, o linea d'universo, di una particella.

Come per ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa per la velocità della luce.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una particella con velocità , il corrispondente quadrimpulso è dato da:[1]

dove sono le componenti della quadrivelocità, è la massa a riposo, è il fattore di Lorentz, e gli usuali vettori tridimensionali velocità e quantità di moto, e c è la velocità della luce. Le componenti spaziali di sono dunque le componenti della quantità di moto classica moltiplicata per il fattore .

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia il quadrivettore posizione, che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il sistema del laboratorio. Differenziando si ha:

Il tempo proprio è il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli:

dove indica il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski, utilizzando la segnatura . Si ha pertanto:

Il tempo proprio è una grandezza che permette di parametrizzare la traiettoria di un corpo, in quanto è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz (poiché è proporzionale a ).

La quadrivelocità è data da:

ed utilizzando la formula di derivazione composta può essere espressa in funzione dell'ordinaria velocità :

La quadriquantità di moto è dunque definita, similmente al corrispettivo classico, come il prodotto tra la quadrivelocità e la massa a riposo del corpo.

Conservazione dell'energia[modifica | modifica wikitesto]

L'energia di una particella è definita come la velocità della luce moltiplicata per la componente temporale del quadrimpulso , ovvero:[2]

ed è una quantità che dipende dalla velocità . Analizzando lo scattering elastico tra due particelle identiche, ed espandendo in serie di Taylor per piccoli angoli l'energia del sistema, si giunge a dimostrare che se l'energia si conserva allora:[3]

Si tratta dell'estensione relativistica dell'energia cinetica, più una quantità di energia costante pari a , che rappresenta l'energia a riposo della particella, interpretabile come quell'energia che la particella ferma possiede per il fatto di avere massa.

La velocità è espressa in termini del quadrimpulso con la relazione:

e dal fatto che la quantità:

è invariante, segue che:

Norma quadra[modifica | modifica wikitesto]

Nello spaziotempo di Minkowski la norma di un quadrivettore è un'invariante di Lorentz:

In modo equivalente:

Il risultato è prevedibile considerando il fatto che i quadrivettori velocità hanno norma quadrata e il quadrimpulso è un quadrivettore velocità per uno scalare . La norma quadrata negativa implica che i quadrivettori velocità e impulso siano di tipo tempo, e cambiando il segno alla segnatura la norma quadra cambia di segno.

Conservazione del quadrimpulso[modifica | modifica wikitesto]

La conservazione del quadrimpulso nei sistemi isolati è uno dei principi fondamentali della dinamica relativistica. Esso include, per basse velocità, le leggi classiche della conservazione dell'energia e della quantità di moto: si conserva l'energia totale, pari a e si conserva la quantità di moto del sistema, pari alle componenti spaziali del quadrivettore.

Se la massa non cambia, il prodotto interno nello spaziotempo di Minkowski tra il quadrimpulso e la relativa quadriaccelerazione è nullo. Infatti, l'accelerazione è proporzionale alla derivata del quadrimpulso rispetto al tempo proprio, divisa per la massa della particella, e pertanto:

Si noti che la massa a riposo può non conservarsi, mentre si conserva la massa relativistica (che non è altro che l'energia). Per esempio, durante un urto tra particelle subatomiche, se due particelle di masse a riposo uguali che viaggiano l'una a e l'altra in senso opposto a si fondono nell'impatto in una sola particella, questa viaggerà ad una velocità pari a e avrà una massa , ben maggiore della somma delle masse iniziali. D'altra parte, la somma delle due masse relativistiche, pari ciascuna a e fornisce direttamente per la massa relativistica della particella risultante , correttamente pari alla massa a riposo moltiplicata per il fattore di Lorentz relativo (circa 1.0081).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 537
  2. ^ Jackson, Pag. 537
  3. ^ Jackson, Pag. 536

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
  • (EN) Carmeli, Moshe, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
  • (EN) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
  • (EN) Hall, G. S., Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
  • (EN) Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0. See also the online version, math.cornell.edu. URL consultato il 3 luglio. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
  • (EN) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1, (Dover reprint edition). An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
  • (EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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