Processo ciclostazionario

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Un processo ciclostazionario è un segnale avente proprietà statistiche che variano nel tempo. I processi stocastici ciclostazionari servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici, come ne esistono molti in natura. Tali processi, sebbene non siano descritti in termini di funzioni periodiche del tempo, producono dati che possono essere descritti attraverso parametri statistici che variano periodicamente nel tempo (statistiche di primo e secondo ordine). Ad esempio, nelle telecomunicazioni, la periodicità dei dati è dovuta alla modulazione, al campionamento, alla codifica; in meccanica è dovuta alla rotazione dei meccanismi, mentre in radioastronomia la periodicità è generata ad esempio dai moti di rotazione e rivoluzione dei pianeti e dalla pulsazione delle stelle.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono due approcci differenti allo studio dei processi ciclostazionari: uno probabilistico, che considera i segnali come realizzazioni di un processo stocastico; l'altro, di tipo deterministico, in cui i segnali vengono modellati come una singola funzione del tempo (serie temporale), piuttosto che come una realizzazione di un processo stocastico. Tale approccio è usato quando non esiste un insieme di realizzazioni, e si utilizza la serie temporale, con un ragionamento al limite, proprio per creare un modello matematico del processo stesso (approccio F.O.T. = fraction-of-time).

In entrambi i casi, il processo o la serie temporale vengono detti ciclostazionari se le statistiche ad essi associate variano periodicamente col tempo.

Processi ciclostazionari in senso lato[modifica | modifica wikitesto]

Segnali che esibiscano ciclostazionarietà nelle statistiche del secondo ordine (funzioni media e autocorrelazione) vengono detti ciclostazionari in senso lato. Indicando con \operatorname{E} l'operatore di media, un processo ciclostazionario x(t) di periodo T_0 soddisfa quindi le seguenti relazioni:

\operatorname{E}[x(t)] = \operatorname{E}[x(t+T_0)] \quad \forall t
R_x(t;\tau) = R_x(t+T_0; \tau) \quad \forall t, \tau.

In particolare, la funzione di autocorrelazione, essendo una funzione periodica in t, può essere espansa in serie di Fourier:

R_x(t;\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty R_x^{n/T_0}(\tau) e^{j2\pi\frac{n}{T_0}t}

dove R_x^{n/T_0}(\tau) è chiamata funzione di autocorrelazione ciclica, ed è uguale a:

R_x^{n/T_0}(\tau) = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} R_x(t,\tau)e^{-j2\pi\frac{n}{T_0}t} \mathrm{d}t .

Le frequenze n/T_0,\,n\in \mathbb{Z}, sono chiamate frequenze cicliche.

I processi stazionari in senso lato possono essere visti come casi particolari di processi ciclostazionari in senso lato con soltanto R_x^0(\tau)\ne 0.

Serie temporali ciclostazionarie[modifica | modifica wikitesto]

Un segnale funzione del tempo che non sia in generale una realizzazione di un processo stocastico può esibire ciclostazionarietà nel contesto della teoria FOT. Secondo tale interpretazione, la funzione di autocorrelazione ciclica può essere definita nel seguente modo:

\hat{R}_x^{n/T_0}(\tau) = \lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{t-T/2}^{t+T/2} x(t + \tau) x^*(t) e^{-j2\pi\frac{n}{T_0}t} \mathrm{d}t .

Se la serie temporale è una realizzazione di un processo stocastico, allora R_x^{n/T_0}(\tau) =\operatorname{E}\left[\hat{R}_x^{n/T_0}(\tau)\right]. Se, inoltre, il segnale è anche ergodico, allora tutte le realizzazioni esibiscono le stesse medie temporali, per cui R_x^{n/T_0}(\tau) =\hat{R}_x^{n/T_0}(\tau) in errore quadratico medio.


Comportamento nel dominio della frequenza[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione ciclica alla frequenza ciclica α è detta spettro ciclico o funzione di densità spettrale di correlazione. Tale funzione è pari a:

S_x^\alpha(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_x^{\alpha}(\tau) e^{-j2\pi\alpha\tau}\mathrm{d}\tau .

Lo spettro ciclico alla frequenza ciclica zero è anche chiamato densità spettrale di potenza media.

Si noti che un processo ciclostazionario x(t) con trasformata di Fourier X(f) può avere componenti frequenziali correlate quando queste sono spaziate di multipli di 1/T_0. In particolare:

\operatorname{E}\left[X(f_1) X^*(f_2)\right] = \sum_{n=-\infty}^\infty S_x^{n/T_0}(f_1)\delta\left(f_1 - f_2 + \frac{n}{T_0}\right)

dove \delta(f) indica la funzione delta di Dirac. Le frequenze f_1 \ne f_2 sono invece sempre incorrelate per un processo stazionario in senso lato, essendo S_x^{n/T_0}(f) \ne 0 solo per n=0.

Esempio: Segnale digitale modulato linearmente[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio di segnale ciclostazionario è un segnale digitale modulato linearmente:

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k p(t -kT_0)

dove a_k\in\mathbb{C} sono variabili casuali i.i.d. Il segnale p(t), con trasformata di Fourier P(f), è l'impulso di supporto della modulazione.

Assumendo \operatorname{E}[a_k] = 0 e \operatorname{E}[|a_k|^2]=\sigma_a^2, la funzione di autocorrelazione è:

\begin{align}
R_x(t,\tau) &= \operatorname{E}[x(t+\tau)x^*(t)] \\
&= \sum_{k,n}\operatorname{E}[a_k a_n^*]p(t+\tau-kT_0)p^*(t-nT_0) \\
&= \sigma_a^2\sum_{k}p(t+\tau-kT_0)p^*(t-kT_0) .
\end{align}

L'ultima sommatoria è una sommatoria periodica, quindi un segnale periodico in t. Di conseguenza, x(t) è un segnale ciclostazionario con periodo T_0 e funzione di autocorrelazione ciclica:


\begin{align}
R_x^{n/T_0}(\tau) &= \frac{1}{T_0}\int_{-T_0}^{T_0} R_x(t,\tau) e^{-j2\pi\frac{n}{T_0}t}\mathrm{d}t \\
&= \frac{1}{T_0}\int_{-T_0}^{T_0} \sigma_a^2\sum_{k=-\infty}^\infty p(t+\tau-kT_0)p^*(t-kT_0) e^{-j2\pi\frac{n}{T_0}t}\mathrm{d}t \\
&= \frac{\sigma_a^2}{T_0} \sum_{k=-\infty}^\infty\int_{-T_0-kT_0}^{T_0-kT_0}p(\lambda+\tau)p^*(\lambda) e^{-j2\pi\frac{n}{T_0}(\lambda+kT_0)}\mathrm{d}\lambda \\
&= \frac{\sigma_a^2}{T_0} \int_{-\infty}^{\infty}p(\lambda+\tau)p^*(\lambda) e^{-j2\pi\frac{n}{T_0}\lambda}\mathrm{d}\lambda \\
&= \frac{\sigma_a^2}{T_0} p(\tau) * \left\{p^*(-\tau)e^{j2\pi\frac{n}{T_0}\tau}\right\} .
\end{align}

dove * indica l'operatore di convoluzione. Lo spettro ciclico è:

S_x^{n/T_0}(f) = \frac{\sigma_a^2}{T_0} P(f)P^*\left(f-\frac{n}{T_0}\right) .

Tipici impulsi a coseno rialzato normalmente utilizzati in comunicazioni digitali hanno quindi solo le frequenze cicliche n=-1, 0, 1.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • William A. Gardner, Antonio Napolitano, and Luigi Paura, Cyclostationarity: Half a century of research, in Signal Processing, vol. 86, nº 4, Elsevier, 2006, pp. 639–697, DOI:10.1016/j.sigpro.2005.06.016.
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