Errore quadratico medio

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In statistica, l'errore quadratico medio (in inglese Mean Squared Error, MSE) indica la discrepanza quadratica media fra i valori dei dati osservati ed i valori dei dati stimati.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'errore quadratico medio o Mean Squared Error (MSE) di uno stimatore \hat{\theta} rispetto al parametro stimato \theta è definito come

\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{E}\big[(\hat{\theta}-\theta)^2\big].

L'errore quadratico medio è uguale alla somma della varianza e del quadrato del bias di uno stimatore

\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{Var}(\hat{\theta})+ \left(\operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta)\right)^2.

L'errore quadratico medio quindi ci dà una misura per giudicare la qualità di uno stimatore in termini della sua variazione e della sua distorsione.

La formula[modifica | modifica sorgente]

La formula per calcolarne il valore è la seguente:
MSE = \frac{\sum _{i=1}^{n} (x_{i}-\widehat{x}_{i})^{2}}{n}
La sua radice quadrata fornisce un ulteriore indice statistico, la cosiddetta Radice dell'Errore Quadratico Medio (in inglese Root Mean Square Error, RMSE oppure Root Mean Square Deviation, RMSD). Corrisponde, in italiano, alla varianza interna data dal rapporto fra la devianza interna (o devianza entro i gruppi) e la numerosità totale. L'RMSE può essere anche calcolato come deviazione standard degli scarti.

L'MSE ed RMSE non sono quantità a-dimensionali, bensì assumono l'unità di misura della grandezza considerata (RMSE) ed il suo quadrato (MSE).
Ad esempio, nella stima della resistenza di risonanza di un circuito, l'MSE è calcolato in [\Omega^{2}] e il relativo RMSE in [\Omega]. Pertanto, essi non sono indici assoluti dell'affidabilità della stima effettuata, ma dipendono dal range di variazione dei dati acquisiti (e stimati). I corrispettivi indici assoluti vengono indicati col nome di MSE Percentuale (MSEP) e RMSE Percentuale (RMSEP).

Calcolo dei valori di MSEP e RMSEP[modifica | modifica sorgente]

Il valore dell'MSEP è facilmente calcolabile sostituendo al numeratore dell'MSE la normalizzazione dell'i-esimo errore rispetto al relativo valore stimato. Pertanto:
MSEP = \frac{\sum _{i=1}^{n} \left(\frac{x_{i}-\widehat{x}_{i}}{x_{i}}\right)^{2}}{n}.

L'RMSEP ne è, naturalmente, la relativa radice quadrata.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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