Lemma di Schur

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In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se M e N sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo G e \phi\; è un morfismo lineare da M a N che commuta con l'azione del gruppo, allora \phi\; è invertibile oppure \phi=0\;. Un importante caso particolare è quello in cui M=N e \phi è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jaques Dixmier.

Formulazione nel linguaggio dei moduli[modifica | modifica sorgente]

Se M e N sono due moduli semplici su un anello R allora ogni omomorfismo f: M \to N di R-moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.

La condizione che f è un omomorfismo di moduli significa che

 f(rm) = rf(m)\, per ogni m \in M e r \in R.

Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia R un'algebra sul campo \mathbb{C} dei numeri complessi e sia M = N un R-modulo semplice di dimensione finita su \mathbb{C}. Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo M è un corpo; esso contiene \mathbb{C} nel suo centro, è finito-dimensionale su \mathbb{C} e quindi coincide con \mathbb{C}. Segue che l'anello degli endomorfismi di M è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una k-algebra si dice assoultamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a k. Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo k, ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di k.

Formulazione nel linguaggio delle matrici[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che G è un insieme di matrici quadrate di ordine n con elementi complessi, e G è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che G sia irriducibile: non esistono sottospazi V oltre a 0 e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di G. In altre parole,


\text{se }gV\subseteq V\text{ per ogni }g\text{ appartenente a }G,\text{ allora o }V=0\text{ oppure }V=\mathbb{C}^n.


Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se A è una matrice complessa di ordine n che commuta con tutte le matrici in G, allora A è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione 1.

Formulazione nel linguaggio delle rappresentazioni dei gruppi[modifica | modifica sorgente]

La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo G è un modulo sull'algebra gruppale di G.

Siano G un gruppo, p:G \to GL(V), q:G \to GL(W) due rappresentazioni irriducibili di G su un campo fissato K; \mbox{T:} V \rightarrow \ W un'applicazione lineare G-invariante, cioè tale che T(p(g)(v))=q(g)(T(v)) per ogni v \in V, g \in G. Allora:

  1. o T=0, oppure T è un isomorfismo;
  2. se V=W, p=q e K è algebricamente chiuso allora T è la moltiplicazione per uno scalare.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

  1. Essendo T G-invariante, Ker(T) e Im(T) sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché p è irriducibile, o KerT=0 o KerT=V. Se KerT=V allora T=0. Se KerT=0 allora T è iniettiva. Poiché q è irriducibile segue Im(T)=W e dunque T è suriettiva. Perciò T è un isomorfismo.
  2. \mbox{T:} V \rightarrow \ V è un operatore lineare; sia \lambda \in K un suo autovalore (esiste perché K è algebricamente chiuso): allora Ker(T-\lambda I) \ne \ 0 , in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare S:=T-\lambda I è anch'esso G-invariante. Poiché KerS \ne \ 0 e p è irriducibile si ha che KerS=V e quindi S=0. Perciò T-\lambda I=0 e quindi T=\lambda I. Ovvero T è la moltiplicazione per uno scalare.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
  • Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95325-0.


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