Lemma di Schur

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In matematica, il lemma di Schur è un risultato elementare ma estremamente utile nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre. Nel caso dei gruppi esso dice che se e sono due rappresentazioni irriducibili di un gruppo e è un morfismo lineare da a che commuta con l'azione del gruppo, allora è invertibile oppure . Un importante caso particolare è quello in cui e è un endomorfismo. Issai Schur usò questo risultato per dimostrare le relazioni di ortogonalità di Schur e sviluppò le basi della teoria della rappresentazione dei gruppi. Il lemma di Schur si generalizza ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie, e la più comune generalizzazione in questo senso è dovuta a Jaques Dixmier.

Formulazione nel linguaggio dei moduli[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono due moduli semplici su un anello allora ogni omomorfismo di -moduli non identicamente nullo è invertibile. In particolare l'anello degli endomorfismi di un modulo semplice è un corpo.

La condizione che è un omomorfismo di moduli significa che

per ogni e .

Il lemma di Schur è applicato frequentemente nel caso particolare seguente. Sia un'algebra sul campo dei numeri complessi e sia un -modulo semplice di dimensione finita su . Il lemma di Schur dice che l'anello degli endomorfismi del modulo è un corpo; esso contiene nel suo centro, è finito-dimensionale su e quindi coincide con . Segue che l'anello degli endomorfismi di è "il più piccolo possibile". Più in generale, questo risultato vale per algebre su ogni campo algebricamente chiuso e per moduli semplici la cui dimensione è al più numerabile. Quando il campo non è algebricamente chiuso, il caso in cui l'anello degli endomorfismi è il più piccolo possibile è particolarmente interessante: un modulo semplice su una -algebra si dice assolutamente semplice se il suo anello degli endomorfismi è isomorfo a . Questo è in generale più forte che essere irriducibili sul campo , ed implica che il modulo è irriducibile anche sulla chiusura algebrica di .

Formulazione nel linguaggio delle matrici[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo di matrici invertibili complesse. Questo vuol dire che è un insieme di matrici quadrate di ordine con elementi complessi, e è chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione di matrici e inversione. Si supponga inoltre che sia irriducibile: non esistono sottospazi oltre a e lo spazio intero che siano invarianti sotto l'azione di . In altre parole,



Il lemma di Schur, nel caso speciale di una rappresentazione singola, diventa: se è una matrice complessa di ordine che commuta con tutte le matrici in , allora è una matrice scalare. Un semplice corollario è che ogni rappresentazione complessa irriducibile di un gruppo abeliano è di dimensione 1.

Formulazione nel linguaggio delle rappresentazioni dei gruppi[modifica | modifica wikitesto]

La versione nel linguaggio dei gruppi è un caso particolare della versione nel linguaggio dei moduli: una rappresentazione di un gruppo è un modulo sull'algebra gruppale di .

Siano un gruppo, , due rappresentazioni irriducibili di G su un campo fissato K; un'applicazione lineare G-invariante, cioè tale che per ogni , . Allora:

  1. o , oppure è un isomorfismo;
  2. se , e K è algebricamente chiuso allora è la moltiplicazione per uno scalare.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

  1. Essendo G-invariante, Ker(T) e Im(T) sono sottospazi G-invarianti. Si ha che, poiché è irriducibile, o o . Se allora . Se allora è iniettiva. Poiché è irriducibile segue Im(T)=W e dunque è suriettiva. Perciò è un isomorfismo.
  2. è un operatore lineare; sia un suo autovalore (esiste perché K è algebricamente chiuso): allora , in quanto contiene almeno un autovettore. L'operatore lineare è anch'esso G-invariante. Poiché e è irriducibile si ha che e quindi . Perciò e quindi . Ovvero è la moltiplicazione per uno scalare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
  • Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0.


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