Teoria dei caratteri

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In matematica la teoria dei caratteri è una branca della teoria delle rappresentazioni dei gruppi ed è molto usata in teoria dei numeri; in particolare è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Dirichlet e del teorema di Burnside.

Definizione di carattere[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale sul campo e sia una rappresentazione del gruppo su . Il carattere della rappresentazione è, per definizione, la mappa che manda nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo :

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il carattere di una trasformazione presenta alcune particolari proprietà.

Sia una rappresentazione del gruppo sullo spazio vettoriale e sia il suo carattere allora possiamo dire che:

  1. è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale infatti:
    e dato che è la matrice identica dello spazio vettoriale la sua traccia è uguale alla sua dimensione.
  2. è costante sulle classi di coniugio. In altre parole se e sono due elementi di G, si ha . Il motivo è che la traccia è invariante per similitudine, cioè matrici simili hanno la stessa traccia.
  3. Due rappresentazioni e si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo tale che:
    per ogni elemento del gruppo . Quindi se e sono isomorfe allora, poiché la traccia è invariante per similitudine, avranno lo stesso carattere ().
  4. Se è un gruppo finito di ordine allora appartiene al sovracampo di generato dalle radici -esime di . Infatti poiché per ogni si ha anche per ogni e quindi gli autovalori di sono radici -esime di .

Carattere di una somma diretta[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due spazi vettoriali sul campo e , due rappresentazioni di . Se definiamo e , la somma diretta di e è la rappresentazione

definita così:

dove è l'applicazione che manda , appartenente , in , sempre appartenente a .

Si ha evidentemente

questo per ogni in e quindi:

Carattere di un prodotto tensoriale[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due spazi vettoriali sul campo e , due rappresentazioni di . Se definiamo e , il prodotto tensoriale di e è la rappresentazione

definita così:

dove manda

in

Tale prodotto tensoriale ha la proprietà seguente: se e sono le matrici di due applicazioni lineari , rispetto alle basi di e di , il loro prodotto tensoriale è rappresentato dal prodotto di Kronecker di e , indicato con , rispetto alla base di .

Dalla proprietà

segue che

Carattere della potenza simmetrica seconda[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale su di dimensione , la potenza simmetrica -esima di è lo spazio vettoriale su , indicato con , generato dai prodotti simmetrici del tipo dove i appartengono a e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni mappa lineare si può associare la sua potenza simmetrica -esima

mandando in .

Se è una base di allora una base di è data dai prodotti dove . Si ha quindi:

Ad ogni rappresentazione possiamo associare la rappresentazione definita mandando in . Se , si ha

Carattere della potenza esterna seconda[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale sul campo , di dimensione e con la base , la potenza esterna -esima di è lo spazio vettoriale su indicato con e generato dai prodotti multilineari alternanti dove i sono vettori di e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni applicazione si può associare la sua potenza esterna -esima mandando in .

Se è una base per allora una base di è data dai prodotti dove . Si ha quindi

Ad ogni rappresentazione possiamo associare la rappresentazione definita mandando in . Si ha

Relazioni di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Siano , due rappresentazioni del gruppo finito sul campo , e sia un'applicazione lineare. Nel caso in cui la caratteristica di non divide l'ordine di definiamo

Si tratta di un'applicazione K-lineare , ed ha la proprietà fondamentale di essere -invariante, nel senso che per ogni , .

Nel caso particolare in cui il campo è algebricamente chiuso e le rappresentazioni , sono irriducibili, il lemma di Schur ci dice che:

  1. se allora ;
  2. se allora è la moltiplicazione per lo scalare .

La seconda asserzione è giustificata dal fatto che detto l'autovalore di si ha

Pensiamo ora a come a matrici ed indichiamone le componenti con e con , , , . Se è un campo algebricamente chiuso di caratteristica che non divide l'ordine di , le precedenti asserzioni tradotte in termini matriciali diventano le seguenti.

  1. Se allora
  2. Se allora

Qui il simbolo è il delta di Kronecker.

Prima relazione di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Ricordiamo che per il teorema di Maschke ogni carattere di un generico gruppo sul campo si scrive come somma di caratteri irriducibili.

Consideriamo la seguente forma bilineare simmetrica non degenere sullo spazio vettoriale delle funzioni :

Il risultato precedente implica che se e sono due caratteri irriducibili relativi a due rappresentazioni di un gruppo finito sugli spazi vettoriali , , entrambi nel campo , il valore di è 1 se ed è 0 se . Questo risultato prende il nome di prima relazione di ortogonalità di Schur.

La prima relazione di ortogonalità ha conseguenze di estrema importanza:

  1. Caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti caratteri irriducibili distinti del gruppo finito , e valga con . Allora per ogni si ha
    .
  2. Il numero di caratteri irriducibili di è minore o uguale del numero di classi di coniugio di . Siano infatti le classi di coniugio di . Data possiamo considerare la funzione che vale 1 su e 0 fuori da . Risulta che le funzioni sono linearmente indipendenti ed ogni carattere è combinazione lineare di esse, quindi per il punto precedente i caratteri irriducibili di sono al più .
  3. Siano e i caratteri delle rappresentazioni irriducibili e di , ed assumiamo che sia irriducibile. Allora la molteplicità di in è uguale a . In altre parole detti caratteri irriducibili tali che (esistono per il teorema di Maschke), si ha che
    inoltre vale se e solo se , altrimenti vale . In particolare la scrittura di un carattere come somma di caratteri irriducibili è unica.
  4. Sia un carattere di . Si ha e se e solo se è irriducibile. Infatti detta la decomposizione di come somma di caratteri irriducibili, si ha:
  5. Si dice carattere principale di e si indica con o più semplicemente con il carattere tale che per ogni . Si tratta di un carattere irriducibile dato che . Per ogni carattere irriducibile diverso da la prima relazione di ortogonalità dice che , è cioè la seguente uguaglianza:
  6. Il lemma di Burnside dice semplicemente che dato un carattere di permutazione relativo ad un'azione transitiva si ha , ovvero per un opportuno carattere che non ha 1 nella decomposizione. Siccome
    dove è il rango del gruppo di permutazione , possiamo per esempio dedurre che è 2-transitivo se e solo se il suo carattere si scrive come per qualche carattere irriducibile che non ha nella decomposizione.
  7. La rappresentazione regolare di è la rappresentazione lineare associata all'azione di su per moltiplicazione a destra. Siccome il numero di punti fissi di ogni elemento non identico in questa rappresentazione è uguale a zero, il suo carattere è il seguente: se , e . Siano ora i caratteri irriducibili di . Calcoliamo
    In altre parole ogni carattere irriducibile compare come componente irriducibile della rappresentazione regolare di con molteplicità uguale al suo grado. Detto il grado di per , si ha quindi . Questa uguaglianza prende il nome di formula della somma dei quadrati o -esimo teorema di Burnside.

Seconda relazione di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo finito e siano le sue rappresentazioni irriducibili sul campo dei numeri complessi. Dati si ha

se e sono coniugati in , altrimenti

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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