Rappresentazioni dei gruppi di Lie

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Si dice rappresentazione di un gruppo di Lie su uno spazio vettoriale un omomorfismo sotto il quale ogni elemento in è mappato in un elemento dello spazio degli operatori lineari invertibili agenti su e consistenti con le operazioni di gruppo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una rappresentazione di un gruppo sullo spazio vettoriale è un omomorfismo

Dove è invertibile e tale da rispettare le operazioni definenti il gruppo:

Dove rappresenta l'operatore inverso a .

Rappresentazione di Algebre di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Corrispondentemente alla rappresentazione di gruppo di Lie esiste quella della sua Algebra nello stesso spazio vettoriale V. La rappresentazione di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale è una mappa che manda ogni elemento in un elemento dello spazio delle applicazioni lineari dello spazio vettoriale V consistente con le operazioni dell'algebra:

Perciò il prodotto di Lie viene mandato nel commutatore degli operatori.

Connessione tra rappresentazioni di Gruppo e di Algebre[modifica | modifica wikitesto]

Data T(G) rappresentazione del gruppo di Lie G nello spazio V è possibile costruire la rappresentazione della corrispondente algebra di Lie AG.

Dove è un elemento del gruppo G vicino all'unità, e di conseguenza A è un elemento dell'algebra di Lie. Nonostante ciò non ogni rappresentazione di algebra è costruita da rappresentazione di gruppi.


Esiste sempre una rappresentazione dell'algebra di dimensione n in termini di matrici nxn: questa è la rappresentazione aggiunta.


Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Fulton-Harris Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140, 2nd, Boston, Birkhäuser, 2002.
  • Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, 2001, ISBN 978-0-19-859683-7. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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