In matematica l'espressione funzioni integrali trigonometriche fa riferimento ad una famiglia di funzioni definite mediante integrali di funzioni trigonometriche .
Grafico di Si(x ) per 0 ≤ x ≤ 8 π . Esistono due definizioni del seno integrale:
Si
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
si
(
x
)
=
−
∫
x
+
∞
sin
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
Per definizione
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
primitiva della funzione sinc
sin
(
x
)
/
x
{\displaystyle \sin(x)/x}
si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {si} (x)}
Si
(
x
)
−
si
(
x
)
=
∫
0
∞
sin
t
t
d
t
=
π
2
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}~.}
Poiché la funzione
s
i
n
c
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}
intera (cioè olomorfa nell'intero piano complesso),
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
Se si considera il seno integrale come la convoluzione della funzione sinc con la funzione gradino di Heaviside , ciò corrisponde a troncare la serie di Fourier , ed è pertanto un modo per descrivere il fenomeno di Gibbs .
Grafico di Ci(x ) per 0 < x ≤ 8π. Vi sono diverse definizioni del coseno integrale:
Ci
(
x
)
=
−
∫
x
+
∞
cos
t
t
d
t
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}
Cin
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni . Qualche testo usa
ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {ci} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
La funzione
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
cos
(
x
)
/
x
{\displaystyle \cos(x)/x}
Cin
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
Il seno iperbolico integrale ha la forma:
Shi
(
x
)
=
∫
0
x
sinh
t
t
d
t
=
shi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt=\operatorname {shi} (x)}
Shi
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
(
2
n
+
1
)
=
x
+
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
+
x
7
7
!
⋅
7
+
⋯
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}}=x+{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}+{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots }
È legata alla precedente funzione seno integrale dalla relazione
Si
(
i
x
)
=
i
Shi
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}
Il coseno iperbolico integrale è:
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cosh
t
−
1
t
d
t
(
|
A
r
g
(
x
)
|
<
π
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad (|{\rm {Arg}}(x)|<\pi )}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni .
Ha come espansione in serie
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
(
x
)
+
1
4
x
2
+
1
96
x
4
+
1
4320
x
6
+
1
322560
x
8
+
1
36288000
x
10
+
O
(
x
12
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{96}}x^{4}+{\frac {1}{4320}}x^{6}+{\frac {1}{322560}}x^{8}+{\frac {1}{36288000}}x^{10}+O(x^{12})}
Utilizzando le funzioni:
f
(
x
)
≡
∫
0
+
∞
sin
(
t
)
t
+
x
d
t
=
∫
0
+
∞
e
−
x
t
t
2
+
1
d
t
=
Ci
(
x
)
sin
(
x
)
+
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
cos
(
x
)
{\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)}
g
(
x
)
≡
∫
0
+
∞
cos
(
t
)
t
+
x
d
t
=
∫
0
+
∞
t
e
−
x
t
t
2
+
1
d
t
=
−
Ci
(
x
)
cos
(
x
)
+
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
sin
(
x
)
{\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)}
l'integrale trigonometrico può essere riscritto come:[ 1]
Si
(
x
)
=
π
2
−
f
(
x
)
cos
(
x
)
−
g
(
x
)
sin
(
x
)
Ci
(
x
)
=
f
(
x
)
sin
(
x
)
−
g
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)\\\end{array}}}
L'espansione dell'integrale trigonometrico in serie asintotica :
Si
(
x
)
=
π
2
−
cos
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
6
!
x
6
⋯
)
−
sin
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
−
7
!
x
7
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}
Ci
(
x
)
=
sin
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
6
!
x
6
⋯
)
−
cos
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
−
7
!
x
7
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}
è una serie divergente, utilizzata per valutare l'integrale per
R
e
(
x
)
≫
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (x)\gg 1}
L'espansione:
Si
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
±
⋯
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
n
=
1
+
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
2
n
(
2
n
)
!
=
γ
+
ln
x
−
x
2
2
!
⋅
2
+
x
4
4
!
⋅
4
∓
⋯
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }
è invece convergente per ogni
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
|
x
|
≫
1
{\displaystyle |x|\gg 1}
La funzione integrale esponenziale:
E
1
(
z
)
=
∫
1
+
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
R
e
(
z
)
≥
0
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0}
è strettamente legata con
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
E
1
(
i
x
)
=
i
(
−
π
2
+
Si
(
x
)
)
−
Ci
(
x
)
=
i
si
(
x
)
−
ci
(
x
)
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad x>0}
(DE Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten
(EN Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables(Chapter 5)
(EN Appl. Numer. Math. 34 , 95-98, 2000.
(EN Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ. Princeton University Press, pp. 105-106, 2003. (EN Integral sine Encyclopaedia of Mathematics (EN Integral cosine Encyclopaedia of Mathematics (EN Sine Integral MathWorld (EN Cosine Integral MathWorld (EN Difference Equations to Differential Equations Archiviato il 5 novembre 2015 in Internet Archive .. 
![{\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d552b6fef78a4dd8aa891607aad1697018b088)
![{\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3886bb335ba5256c3172b2504c7d1e2943415f)
