Equazione ipergeometrica

In matematica, l'equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell'equazione ipergeometrica.

L'equazione ha la forma:

z(1-z){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,u(z)+[c-(a+b+1)z]{\frac {d}{dz}}\,u(z)-ab\,u(z)=0

ovvero:

z(1-z)u''+[c-(a+b+1)z]u'-abu=0

con $a$ , $b$ , $c$ e $z$ variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare $a$ , $b$ e $c$ come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni. L'equazione possiede singolarità regolari, in 0,1 e $\infty$ .

Soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Generalmente si può facilmente ricavare questa equazione dall'equazione di Papperitz-Riemann, ma è possibile dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane può sempre essere ricondotta alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima.

Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:

u:=P{\begin{Bmatrix}0&1&\infty \\0&0&a&z\\1-c&c-a-b&b\end{Bmatrix}}

L'espressione esplicita di una prima soluzione $\,u_{1}$ si può determinare esprimendola come serie di potenze:

u_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}z^{n}

spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite $c_{n}$ . Sostituendo e trovando una prima soluzione per i $c_{n}$ si ottiene una prima soluzione del tipo:

u_{1}=F(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}\,k!}}z^{k}

con $\left|z\right|<1$ e $c\neq n,n=-1,-2,-3\dots$ ; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come $\,(a)_{k}$ .

In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione $u_{2}$ , linearmente indipendente da $u_{1}$ solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi:

u_{2}=(1-z)^{c-1}F(a+1-c,b+1-c;2-c;z)=(1-z)^{c-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a+1-c)_{k}\,(b+1-c)_{k}}{(2-c)_{k}\,k!}}\,z^{k}

con $\left|z\right|<1$ e $1-c\neq n,n=0,-1,-2,-3\dots$ .

Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:

u_{2}=au_{1}(z)\log(z-z_{0})+(z-z_{0})^{\rho _{1}}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}(z-z_{0})^{k}

Relazioni tra soluzioni di equazioni ipergeometriche[modifica | modifica wikitesto]

Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione:

F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)

che risulta valida anche per $c$ numero intero positivo, per motivi di continuità. Un'altra relazione è la prima delle formule di Bolza:

F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{-a}F\left(a,c-1;c;{\frac {z}{1-z}}\right)

Derivata n-esima[modifica | modifica wikitesto]

Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:

{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}F(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c_{n})}}F(a+n,b+n;c+n;z)

Integrali ipergeometrici[modifica | modifica wikitesto]

Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):

I(z)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt

si ottiene il risultato:

I(z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}F(a,b;c;z)

dove $\Gamma$ denota la funzione gamma.

Questo risultato consente di vedere che la funzione ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Eulero):

F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt

Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel limite $\,z\rightarrow 1^{-}$ :

F(a,b;c;1^{-})={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Cesare Rossetti (1975): Metodi matematici per la fisica, Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella, Torino, Capitolo 9.
(FR) Edouard Goursat (1936) Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent, Hermann, Parigi.
(FR) Joseph Kampé de Fériet (1937) La fonction hypergéométrique Mémorial des sciences mathématiques, n° 85, Gauthier-Villars, Parigi.
(EN) Erdély, Magnus, Oberhettinger, Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter II.
(EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Chapter 15.
(EN) Earl D. Rainville (1945): The contiguous function relations for ${}_{p}F_{q}$ with application to Batemean's $J_{n}^{u,\nu }$ and Rice's $H_{n}\left({\zeta ,p,\nu }\right)$ Bulletin of the American Mathematical Society 51, p. 714.
(EN) G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy (1999): Special functions, Cambridge University Press, Chapter 2.