Punto fuchsiano

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, nella teoria delle equazioni differenziali lineari di variabile complessa, un punto fuchsiano, anche detto singolarità fucsiana o punto singolare regolare, è un tipo particolare di punto singolare in corrispondenza del quale le soluzioni dell'equazione crescono non più velocemente di un polinomio. Il nome si deve a Lazarus Fuchs.

Un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea definita nel piano complesso, di cui i coefficienti sono funzioni analitiche, è detta equazione fuchsiana se tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data un'equazione ordinaria lineare di n-esimo grado:

con funzioni meromorfe nei punti , i punti sono punti singolari regolari se ogni soluzione cresce non più velocemente di un polinomio per . Nello specifico, per ogni intervallo con , ogni soluzione è vincolata dalla disuguaglianza:

per una qualche costante . Il punto è regolare se dopo il cambio di variabile l'equazione ha una singolarità regolare nel punto . Un punto singolare che non è regolare è detto punto singolare irregolare.

Le equazioni in cui tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann sono dette equazioni fuchsiane. Si dice che l'equazione è di classe fuchsiana se i coefficienti hanno la forma:

con punti distinti e un polinomio di gradi minore di .

Equazioni di secondo grado[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di un'equazione del secondo ordine:

il punto si dice un punto singolare se o hanno una singolarità isolata per . Il punto singolare si dice fuchsiano se è al massimo un polo di ordine 1 e è al massimo un polo di ordine 2. Se tutti i punti singolari dell'equazione differenziale sono fuchsiani, l'equazione è chiamata equazione fuchsiana.

Un esempio di equazione fuchsiana con tre punti fuchsiani è l'equazione di Papperitz-Riemann. Ogni equazione ordinaria di secondo grado con tre punti singolari sulla sfera di Riemann può essere ricondotta all'equazione ipergeometrica (che si ottiene dall'equazione di Papperitz-Riemann), mentre nel caso vi siano quattro punti singolari può essere ridotta alla forma dell'equazione di Heun.

Teorema di Fuchs[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Fuchs assicura che nell'intorno di un punto fuchsiano esiste sempre una soluzione della forma:

dove è la soluzione avente parte reale massima dell'equazione algebrica di secondo grado:

detta "equazione indiciale" o "caratteristica" dell'equazione differenziale, e la funzione è una funzione olomorfa non nulla in . I coefficienti dell'equazione indiciale si ricavano dai coefficienti nel seguente modo:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica