Equazione di campo di Einstein

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L'equazione di campo di Einstein è l'equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Essa descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.[1]

L'equazione è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta dopo parecchio tempo a favore di Einstein.[2]

Equazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di campo originale è

Ma successivamente Einstein la modificò aggiungendo la costante cosmologica in modo da ottenere un modello di universo statico. Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è

dove:

Il tensore descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le identità di Bianchi, le equazioni indipendenti si riducono a 6. Definendo il tensore di Einstein come segue:

possiamo riscrivere l'equazione di campo come

Lagrangiana della relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di campo della relatività generale nel vuoto può essere derivata dalla variazione di una densità lagrangiana[3]. L'azione ad essa associata, ossia l'integrale della suddetta densità Lagrangiana, è data dalla somma dell'azione di Einstein-Hilbert e da un di volume proporzionale alla costante cosmologica:

Nella precedente equazione è la radice quadrata del (negativo del) determinante della metrica, è lo scalare di curvatura e è la costante cosmologica.

Altre equazioni di campo[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura.

I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, o FLRW. L'assunto che l'universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.

Contrazione o espansione dell'universo[modifica | modifica wikitesto]

Il termine venne introdotto ad hoc da Einstein per permettere un universo statico, in quanto la sua teoria prevedeva un universo dinamico (o in contrazione o in espansione), inconcepibile per quei tempi. Nei dieci anni successivi le osservazioni di Edwin Hubble confermarono l'espansione dell'universo e il termine venne omesso (lo stesso Einstein ne giudicò l'introduzione il suo più grande errore[4]). Sembra però che Einstein fosse "condannato" ad avere in qualche modo ragione in quanto la costante cosmologica si è riaffermata nel 1998 con l'osservazione di un universo in accelerazione, che ha spinto gli astronomi a introdurre l'idea di una costante cosmologica positiva.[5][6] Come quella individuata da Einstein, anche la versione aggiornata svolge il ruolo di forza antigravitazionale su larga scala, ora rappresentata dall'energia oscura.

Trascurando temporaneamente la costante cosmologica e utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l'universo a grande scala sia isotropo ed omogeneo, è possibile ridurre l'equazione tensoriale all'equazione differenziale:

dove è il fattore di scala (che se l'universo è chiuso ne rappresenta il raggio), la sua velocità di variazione, la densità media dell'universo e la curvatura (positiva, negativa o nulla). Risulta dunque facile, ponendo , calcolare quella che viene definita la "densità critica" dell'universo, che risulta:

dove si è fatto utilizzo della relazione che lega il parametro di Hubble al fattore di scala. Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare . Se la curvatura dell'universo è maggiore di 0 esso si ricontrarrà, se pari o inferiore si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Sempre con , l'equazione , che assume la forma

può essere risolta ponendo , e ha come soluzione :

dove è una costante. Questa soluzione ci dice che, per un universo spazialmente piatto e con costante cosmologica nulla, il fattore di scala è proporzionale al tempo alla due terzi .

Reintroducendo la costante cosmologica come una forma di energia, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio; di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: una rappresentata dalla materia, osservabile e oscura, e l'altra dall'energia oscura. Infatti in tal caso l'equazione diventa

Dove è la densità della materia e la densità di energia associata alla costante cosmologica definita come , che ha proprio le dimensioni di una densità energetica.

Dal momento che le attuali osservazioni, in particolare misurazioni della radiazione cosmica di fondo effettuate dal satellite WMAP, indicano che l'universo è molto vicino a una curvatura nulla, la densità dell'universo dovrebbe essere molto vicina al valore critico che ne determinerebbe una geometria piatta. Al contrario la densità di energia della materia globalmente rilevabile è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore e la costante cosmologica sotto forma di energia oscura, qualora dimostrata e quantificata, dovrebbe permettere di colmare tale differenza e prevedere di conseguenza il destino ultimo dell'universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d'indagine per la cosmologia.

Soluzioni delle equazioni di campo[modifica | modifica wikitesto]

Le soluzioni particolari dell'equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:

  • l'universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
  • il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell'universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
  • la soluzione di Lemaitre, una prima formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall'esplosione di un "atomo primordiale" da cui ha avuto origine l'universo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p. 916.
  2. ^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science n. 278, 14 novembre 1997
  3. ^ [1]
  4. ^ George Gamow, My World Line : An Informal Autobiography, Viking Adult, 28 aprile 1970, ISBN 0-670-50376-2. URL consultato il 14 marzo 2007.
  5. ^ Nicolle Wahl, Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?, 22 novembre 2005. URL consultato il 14 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 7 marzo 2007).
  6. ^ Michael S. Turner, Making Sense of the New Cosmology, in Int.J.Mod.Phys. A17S1, vol. 17, maggio 2001, pp. 180–196, Bibcode:2002IJMPA..17S.180T, DOI:10.1142/S0217751X02013113, arXiv:astro-ph/0202008.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 49059 · LCCN (ENsh85041416 · BNF (FRcb144911223 (data) · J9U (ENHE987007533686305171 (topic)
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