Tensore energia impulso

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Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia impulso, anche detto tensore energia momento, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore energia impulso è il tensore del secondo ordine che fornisce il flusso della componente -esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie con coordinate costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso , e dunque:[1]

dove è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano si ha l'impulso in tre dimensioni:

con l'elemento di spazio tridimensionale e il volume contenuto in .

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:[2]

e la componente temporale è la densità di massa relativistica , cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:[2]

Le componenti spaziali di rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie . In particolare, rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

dove è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume , funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero , e quindi:[3]

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

si ottiene:

Dato che , si definisce il tensore energia impulso come:

in modo che l'espressione assume la forma:

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:[4]

dove è il quadrimpulso del sistema e un termine costante che si pone solitamente pari a : la relazione stabilisce che si conserva.

Conservazione dell'energia[modifica | modifica wikitesto]

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità si hanno le espressioni:[2]

Integrando l'equazione a sinistra sul volume e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:[5]

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume , il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie . In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore degli sforzi elettromagnetico.

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo piatto come:[6]

dove è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita è:

dove è il vettore di Poynting, il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

e il tensore degli sforzi di Maxwell:[7]

Si noti che dove c è la velocità della luce.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Landau, Lifshits, Pag. 111
  2. ^ a b c Landau, Lifshits, Pag. 112
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 109
  4. ^ Landau, Lifshits, Pag. 110
  5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 113
  6. ^ Landau, Lifshits, Pag. 114
  7. ^ Landau, Lifshits, Pag. 115

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
  • Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
  • Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
  • Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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