Tensore di Einstein

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Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore di Einstein è definito come

In questa espressione è il tensore di Ricci, è il tensore metrico e è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi

Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene

Contraendo l'indice , assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo

Facendo uso della relazione , possiamo riscrivere l'equazione precedente come

che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per abbiamo

ovvero

Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere

La quantità tra parentesi coincide con la definizione di data sopra.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Derivata covariante[modifica | modifica wikitesto]

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

e otteniamo

In altre parole:

Traccia[modifica | modifica wikitesto]

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare . La traccia del tensore di Einstein in dimensione può essere calcolata nel modo seguente:

In dimensione il tensore di Einstein ha quindi traccia , opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (IT) Giancarlo Bernacchi, Tensori fatti facili, 2017.