Sistema numerico ternario

Il sistema numerico ternario è un sistema numerico posizionale in base 3, cioè che utilizza 3 simboli 0, 1 e 2, invece dei 10 del sistema numerico decimale. Di conseguenza, la cifra in posizione $n$ (da destra) si considera moltiplicata per $3^{(n-1)}$ anziché per $10^{(n-1)}$ come avviene nella numerazione decimale^[1]. Solitamente le tre cifre sono numeri positivi, ma il termine può anche riferirsi al sistema ternario bilanciato, usato soprattutto nei calcolatori ternari, le cui cifre sono -1, 0 ed 1.

Definizione

Un numero è rappresentato in base 3 da una combinazione di cifre 0, 1 e 2, ordinate secondo un sistema posizionale basato sulle potenze di 3. Dato che si può generare confusione con altre basi, va specificato che si tratta di un numero ternario aggiungendo un pedice ₃ alla fine del numero. Per esempio, $120_{3}=1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+0\cdot 3^{0}=15_{10}$

Comparazione con altre basi

La rappresentazione di un numero intero in base 3 richiede meno cifre della corrispondente in base 2. Per esempio, il numero decimale 220 si scrive in base 2 11011100 (8 cifre), mentre in base 3 è scritto come 22011 (5 cifre). Tuttavia, un numero scritto in base 3 è più lungo che in base 10; per questo in informatica i numeri ternari vengono talvolta codificati in base 9 o in base 27, allo stesso modo con cui i numeri binari vengono compattati in base 8 o in base 16.

**Numeri da 1 a 27 in rappresentazione ternaria, binaria e decimale**
Ternario	1	2	10	11	12	20	21	22	100
Binario	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001
Decimale	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Ternario	101	102	110	111	112	120	121	122	200
Binario	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010
Decimale	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Ternario	201	202	210	211	212	220	221	222	1000
Binario	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011
Decimale	19	20	21	22	23	24	25	26	27

**Potenze di 3 in rappresentazione ternaria, binaria e decimale**
Ternario	1	10	100	1 000	10 000
Binario	1	11	1001	1 1011	101 0001
Decimale	1	3	9	27	81
Potenza	3⁰	3¹	3²	3³	3⁴

Ternario	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
Binario	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
Decimale	243	729	2 187	6 561	19 683
Potenza	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3⁹

Per quanto riguarda i numeri razionali, il sistema ternario è comodo per rappresentare le frazioni che hanno al denominatore delle potenze di 3, che in notazione decimale vengono rappresentate da numeri periodici. Tuttavia, non avendo la base altri fattori primi oltre a 3, tutti gli altri razionali non interi divengono periodici. Ad esempio, ecco alcune frazioni con le rispettive rappresentazioni in base 2, 3 e 10:

**Numeri razionali in ternario, binario e decimale**
Ternario	0.111111111111...	0.1	0.020202020202...	0.012101210121...	0.011111111111...	0.010212010212...
Binario	0.1	0.010101010101...	0.01	0.001100110011...	0.00101010101...	0.001001001001...
Decimale	0.5	0.333333333333...	0.25	0.2	0.166666666666...	0.142857142857...
Frazione	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7

Ternario	0.010101010101...	0.01	0.002200220022...	0.002110021100...	0.002020202020...	0.002002002002...
Binario	0.001	0.000111000111...	0.000110011001...	0.000101110100...	0.000101010101...	0.000100111011...
Decimale	0.125	0.111111111111...	0.1	0.090909090909...	0.083333333333...	0.076923076923...
Frazione	1/8	1/9	1/10	1/11	1/12	1/13

Applicazioni

Informatica

I calcolatori ternari fondano il loro funzionamento sulla base 3. Analogamente ai bit, le loro unità di informazione sono i trit, che possono assumere tre valori distinti. Ogni trit contiene l'equivalente di $\log _{2}3$ (circa 1,58496) bit d'informazione. Alcuni computer ternari, come il Setun, definivano il tryte come un gruppo di 6 trit, in parallelo coi byte che sono composti da 8 bit^[2].

Trasferimento dati

Se un canale di comunicazione consente di usare tre stati invece di due, è possibile inviare una mole di dati numerici molto maggiore rispetto all'utilizzo di due simboli. Se ad esempio si usano lampi di luce colorata per trasmettere un "1" o uno "0" binario a seconda del colore rosso o verde, con 8 lampi (un byte) si hanno a disposizione 256 diverse configurazioni. Ma se ad esempio si aggiunge il colore azzurro con valore "2", allora con gli stessi otto lampi si possono trasmettere 6561 configurazioni, che con una luce a due colori necessiterebbero di 13 lampi (bits). Quindi se è possibile utilizzare tre stati ben distinguibili in luogo di due, la numerazione in base tre amplia fortemente la quantità di informazione trasferibile nella stessa unità di tempo.

Altri usi

La base 3 è utile per lavorare più facilmente con alcune strutture autosomiglianti come il triangolo di Sierpiński e l'insieme di Cantor. Quest'ultimo può essere definito come l'insieme di numeri reali compresi tra 0 ed 1 che non hanno nessuna cifra 1 nella loro rappresentazione ternaria.^[3]^[4] È a volte utilizzato nel baseball, dove ogni inning è diviso in tre out. È inoltre usato nell'islam per declamare i 99 nomi di Allah con la misbaha.

Note

^ Brian Hayes, Third base, in American Scientist, vol. 89, n. 6, 2001, pp. 490–494. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 27 marzo 2017)..
^ (EN) Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A.. "Development of ternary computers at Moscow State University"
^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Third Base, su americanscientist.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale l'8 giugno 2017).
(EN) Ternary Arithmetic, su washingtonart.net. URL consultato il 13 maggio 2012 (archiviato dall'url originale il 14 maggio 2011).
(EN) The ternary calculating machine of Thomas Fowler, su mortati.com.
(EN) Ternary Base Conversion incluse parti frazionarie
(EN) Gideon Frieder's replacement ternary numeral system, su americanscientist.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 14 febbraio 2017).

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[1] Brian Hayes, Third base, in American Scientist, vol. 89, n. 6, 2001, pp. 490–494. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 27 marzo 2017)..

[2] (EN) Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A.. "Development of ternary computers at Moscow State University"

[3] Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.

[4] Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

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