Sistema numerico dozzinale

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Per contare da 1 a 10 in base dozzinale si possono utilizzare le falangi di una sola mano, anziché tutte e dieci le dita.

Il sistema numerico duodecimale (chiamato anche dozzinale o in base 12, spesso abbreviato doz) è un sistema di numerazione posizionale che utilizza dodici cifre, vale a dire che in questo sistema al valore dieci ed al valore undici sono assegnati dei simboli propri, anziché ricorrere a combinazioni di più simboli.

Come cifra atta a sostituire il 10 si può utilizzare:

Per sostituire l'11, invece, si possono usare:

Anche se tecnicamente non esistono dei veri nomi, in ambito anglofono le due cifre aggiuntive vengono talvolta chiamate rispettivamente Dek (dal greco deca) ed El (dall'inglese eleven).[2][3]

Il valore dodici, che in un classico sistema decimale avremmo scritto come "12" (che sta a significare "1 decina + 2 unità"), qui viene riportato come "10" ("1 dozzina + 0 unità"). Ne consegue che se scrivessimo "12" in un sistema dozzinale stiamo indicando il valore che, nel sistema decimale, avremmo indicato come "14". Su scala più grande si presenta la notazione "100": nel sistema decimale significa "1 decina di decine" ed indica il numero cento, mentre nel sistema duodecimale indica "1 dozzina di dozzine", arrivando ad indicare il decimale "144" (12x12). Il valore cento in base 12 si scrive "84" (ovvero "8 dozzine + 4 unità"). Al contrario, la scrittura "0.1" non indica un decimo di unità ma un dodicesimo (0.083) e "0.01" non un centesimo ma un centoquarantaquattresimo (0.00694).

Il numero dodici è un numero altamente composto, infatti è il più basso numero con quattro divisori (2, 3, 4 e 6, escludendo 1 e 12), nonché il più basso ad essere multiplo dei primi quattro numeri naturali. Ciò ne comporta la versatilità ad essere usato come base di un sistema numerico, essendo una base duodecimale più comoda nella vita quotidiana rispetto ad una base decimale. Un esempio ne possono essere le prime frazioni:

(In rosso i numeri irrazionali, in verde i casi in cui una versione è più corta dell'altra, e dunque preferibile)

Divisione Decimale Dozzinale Divisione Decimale Dozzinale
1:2 0.5 0.6 1:8 0.125 0.16
1:3 0.3 0.4 1:9 0.1 0.14
1:4 0.25 0.3 1:10, 1:A 0.1 0.12497
1:5 0.2 0.2497 1:11, 1:B 0.09 0.1
1:6 0.16 0.2 1:12, 1:10 0.083 0.1
1:7 ≈0.14286 0.186A35 1:13, 1:11 ≈0.0769 0.0B

Origini[modifica | modifica sorgente]

Lingue umane che si avvalgono di un sistema numerico in base 12 sono rare. Possiamo infatti citare solamente linguaggi limitrofi della Nigeria e dell'India, come i dialetti africani Janji, Gbiri-Niragu, Piti e Gwandara, o il nepalese Chepang ed il maldiviano.[5][6]

Le lingue germaniche possiedono nomi propri, e non composti, per i numeri 11 e 12, come ad esempio eleven e twelve in inglese, elleve e tolv in danese, elf e zwölf in tedesco, etc. Questo porta spesso a pensare che si tratti di residui di un vecchio sistema duodecimale; in realtà si ritiene che tali parole derivino dal proto-germanico *ainlif and *twalif e significhino letteralmente uno oltre e due oltre, mostrandone dunque la natura decimale.[7][8]

Storicamente, le unità di tempo di molte civiltà fanno riferimento al numero 12 come perno centrale. Ci sono, ad esempio, 12 segni zodiacali, 12 mesi in un anno e 12 ore in un giorno babilonese. Nella tradizione cinese i calendari, gli orologi ed i compassi sono basati sui dodici rami terrestri. Nel sistema imperiale britannico, 12 pollici costituiscono un piede, una libbra equivale a 12 once troy e 12 penny un tempo corrispondevano ad uno scellino.

Gli Antichi Romani, seppure non avessero un sistema posizionale ma additivo, utilizzavano un sistema frazionario basato sul 12 in cui dodicesima parte di unità era chiamata uncia, da cui gli attuali ounce ed inch inglesi. Molto più avanti, anche Carlo Magno istituì nel suo impero un nuovo sistema monetario in cui 12 denari componevano un soldo.

Conversione tra basi[modifica | modifica sorgente]

Metodo della somma di multipli di potenze della base[modifica | modifica sorgente]

Immaginiamo di dover convertire il numero dozzinale 3'1A5'B23.6 in base decimale. Come prima cosa, dobbiamo esprimere il numero come somma di prodotti tra singole cifre e potenze della base. Vale a dire: 3'1A5'B23.6 = 3'000'000 + 100'000 + A0'000 + 5'000 + B00 + 20 + 3 + 0.6

Questo perché ciascuno dei numeri ottenuti corrisponde alla formula c*bz, dove c è la cifra che caratterizza il numero (ad esempio il 5 in 5'000), b è la base e z è il numero di zeri (ad esempio 5 in 10'000). Dopodiché, bisogna prendere la forma c*bz di ciascun addendo e convertirlo dal sistema duodecimale a quello decimale; per far ciò, è sufficiente convertire il valore b: precedentemente tale valore era 10 poiché ogni base si scrive 10 nella base stessa, ma adesso dobbiamo esprimere quel valore in una base più piccola, una base in cui 10doz viene scritto 12dec. Modifichiamo dunque l'espressione c*10z in c*12z per ciascuno degli addendi; l'unica ulteriore modifica si presenta per c=A → c=10 e c=B → c=11.

Ora, calcoliamo decimalmente ciascuna formula e sommiamo i risultati: avremo ottenuto di sapere come si scrive 3'1A5'B23.6doz in base decimale. Di seguito, lo svolgimento:

   Dozzinale                         Decimale

 3'000'000    = 3x10^6  =  3x12^6  = 8'957'952
   100'000    = 1x10^5  =  1x12^5  =   248'832
    A0'000    = Ax10^4  = 10x12^4  =   207'360
     5'000    = 5x10^3  =  5x12^3  =     8'640
       B00    = Bx10^2  = 11x12^2  =     1'584
        20    = 2x10^1  =  2x12^1  =        24
         3    = 3x10^0  =  3x12^0  =         3
         0.6  = 6x10^-1 =  6x12^-1 =         0.5
------------------------------------------------------
 3'1A5'B23.6            =            9'424'395.5

Sappiamo ora che 3'1A5'B23.6doz = 9'424'395.5dec.

Tavola moltiplicativa dozzinale

Proviamo ora a svolgere l'opposto, ovvero convertire il numero decimale 9'424'395.5 in base dozzinale. Come prima, scomponiamo: 9'424'395.5 = 9'000'000 + 400'000 + 20'000 + 300 + 90 + 5 + 0.5

Prendendo poi la forma c*bz in cui abbiamo posto gli addendi, cambiamo il valore di b non da 10 a 12 come prima, ma da 10 ad A (in breve, il valore di b va cambiato al valore della base originaria espresso nella base di destinazione). Stavolta, le moltiplicazioni e l'addizione finale andranno svolte secondo le regole dozzinali (si veda a lato per la tavola moltiplicativa).


    Decimale                       Dozzinale

 9'000'000    = 9x10^6  = 9xA^6  = 3'020'400
   400'000    = 4x10^5  = 4xA^5  =   173'594
    20'000    = 2x10^4  = 2xA^4  =     B'6A8
     4'000    = 4x10^3  = 4xA^3  =     2'394
       300    = 3x10^2  = 3xA^2  =       210
        90    = 9x10^1  = 9xA^1  =        76
         5    = 5x10^0  = 5xA^0  =         5
         0.5  = 5x10^-1 = 5xA^-1 =         0.6
------------------------------------------------------
 9'424'395.5            =          3'1A5'B23.6


Anche adesso, quindi, siamo giunti alla conclusione che 9'424'395.5dec = 3'1A5'B23.6doz.

Metodo del resto della divisione[modifica | modifica sorgente]

Un altro modo di convertire un numero decimale ad uno dozzinale è quello di dividere tale numero per 12 e riportare da parte il resto della divisione; poi si prende il risultato senza resto e lo si ridivide nuovamente per 12, riportando anche stavolta il resto. Si continua fino a quando il quoziente senza resto non è pari a 0.

Vediamo ad esempio come convertire il numero 9'424'370dec alla base duodecimale.

Dividendo Divisore Quoto Resto
9'424'370  : 12 = 785'364 2
785'364  : 12 = 65'447 0
65'447  : 12 = 5'453 11
5'453  : 12 = 454 5
454  : 12 = 37 10
37  : 12 = 3 1
3  : 12 = 0 3

Una volta svolte le divisioni, prendiamo tutti i resti in ordine dall'ultimo verso il primo: 3, 1, 10, 5, 11, 0 e 2. Dato che sono presenti il 10 e l'11, convertiamoli ai relativi simboli dozzinali, ovvero convenzionalmente A e B. Il numero duodecimale che corrisponde a 9'424'370dec sarà dunque 3'1A5'B02doz.

Vari numeri convertiti da duodecimale a decimale[modifica | modifica sorgente]

Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec.
100'000 248'832 10'000 20'736 1'000 1'728 100 144 10 12 1 1 0.1 0.083 0.01 0.00694
200'000 497'664 20'000 41'472 2'000 3'456 200 288 20 24 2 2 0.2 0.16 0.02 0.0138
300'000 746'496 30'000 62'208 3'000 5'184 300 432 30 36 3 3 0.3 0.25 0.03 0.02083
400'000 995'328 40'000 82'944 4'000 6'912 400 576 40 48 4 4 0.4 0.3 0.04 0.027
500'000 1'244'160 50'000 103'680 5'000 8'640 500 720 50 60 5 5 0.5 0.416 0.05 0.03472
600'000 1'492'992 60'000 124'416 6'000 10'368 600 864 60 72 6 6 0.6 0.5 0.06 0.0416
700'000 1'741'824 70'000 145'152 7'000 12'096 700 1008 70 84 7 7 0.7 0.583 0.07 0.04861
800'000 1'990'656 80'000 165'888 8'000 13'824 800 1152 80 96 8 8 0.8 0.6 0.08 0.05
900'000 2'239'488 90'000 186'624 9'000 15'552 900 1'296 90 108 9 9 0.9 0.75 0.09 0.0625
ᘔ00'000 2'488'320 ᘔ0'000 207'360 ᘔ'000 17'280 ᘔ00 1'440 ᘔ0 120 10 0.ᘔ 0.83 0.0ᘔ 0.0694
Ɛ00'000 2'737'152 Ɛ0'000 228'096 Ɛ'000 19'008 Ɛ00 1'584 Ɛ0 132 Ɛ 11 0.Ɛ 0.916 0.0Ɛ 0.07638

Vari numeri convertiti da decimale a duodecimale[modifica | modifica sorgente]

Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod.
100'000 49'ᘔ54 10'000 5'954 1'000 6Ɛ4 100 84 10 1 1 0.1 0.12497 0.01 0.015343ᘔ0Ɛ62ᘔ68781Ɛ059
200'000 97'8ᘔ8 20'000 Ɛ'6ᘔ8 2'000 1'1ᘔ8 200 148 20 18 2 2 0.2 0.2497 0.02 0.02ᘔ68781Ɛ05915343ᘔ0Ɛ6
300'000 125'740 30'000 15'440 3'000 1'8ᘔ0 300 210 30 26 3 3 0.3 0.37249 0.03 0.043ᘔ0Ɛ62ᘔ68781Ɛ059153
400'000 173'594 40'000 1Ɛ'194 4'000 2'394 400 294 40 34 4 4 0.4 0.4972 0.04 0.05915343ᘔ0Ɛ62ᘔ68781Ɛ0
500'000 201'428 50'000 24'Ɛ28 5'000 2'ᘔ88 500 358 50 42 5 5 0.5 0.6 0.05 0.07249
600'000 24Ɛ'280 60'000 2ᘔ'880 6'000 3'580 600 420 60 50 6 6 0.6 0.7249 0.06 0.08781Ɛ05915343ᘔ0Ɛ62ᘔ6
700'000 299'114 70'000 34'614 7'000 4'074 700 4ᘔ4 70 5ᘔ 7 7 0.7 0.84972 0.07 0.0ᘔ0Ɛ62ᘔ68781Ɛ05915343
800'000 326'Ɛ68 80'000 3ᘔ'368 8'000 4'768 800 568 80 68 8 8 0.8 0.9724 0.08 0.0Ɛ62ᘔ68781Ɛ05915343ᘔ
900'000 374'ᘔ00 90'000 44'100 9'000 5'260 900 630 90 76 9 9 0.9 0.ᘔ9724 0.09 0.10Ɛ62ᘔ68781Ɛ05915343ᘔ

Conversione di potenze[modifica | modifica sorgente]

Esponente b=2 b=3 b=4 b=5 b=6 b=7
Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod.
b6 64 54 729 509 4'096 2454 15'625 9'061 46'656 23'000 117'649 58'101
b5 32 28 243 183 1'024 714 3'125 1'985 7'776 4'600 16'807 9'887
b4 16 14 81 69 256 194 625 441 1'296 900 2'401 1'481
b3 8 8 27 23 64 54 125 ᘔ5 216 160 343 247
b2 4 4 9 9 16 14 25 21 36 30 49 41
b1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
b−1 0.5 0.6 0.3 0.4 0.25 0.3 0.2 0.2497 0.16 0.2 0.142857 0.186ᘔ35
b−2 0.25 0.3 0.1 0.14 0.0625 0.09 0.04 0.05915343ᘔ0
Ɛ62ᘔ68781Ɛ
0.027 0.04 0.0204081632653
06122448979591
836734693877551
0.02Ɛ322547ᘔ05ᘔ
644ᘔ9380Ɛ908996
741Ɛ615771283Ɛ
Esponente b=8 b=9 b=10 b=11 b=12
Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod. Dec. Duod.
b6 262'144 107'854 531'441 217'669 1'000'000 402'854 1'771'561 715'261 2'985'984 1'000'000
b5 32'768 16'Ɛ68 59'049 2ᘔ'209 100'000 49'ᘔ54 161'051 79'24Ɛ 248'832 100'000
b4 4'096 2'454 6'561 3'969 10'000 5'954 14'641 8'581 20'736 10'000
b3 512 368 729 509 1'000 6Ɛ4 1'331 92Ɛ 1'728 1'000
b2 64 54 81 69 100 84 121 ᘔ1 144 100
b1 8 8 9 9 10 11 Ɛ 12 10
b−1 0.125 0.16 0.1 0.14 0.1 0.12497 0.09 0.1 0.083 0.1
b−2 0.015625 0.023 0.012345679 0.0194 0.01 0.015343ᘔ0Ɛ6
2ᘔ68781Ɛ059
0.00826446280
99173553719
0.0123456789Ɛ 0.00694 0.01

Dozzinalismo e duodecimalizzazione[modifica | modifica sorgente]

La causa per la duodecimalizzazione è stata a lungo portata avanti da F. Emerson Andrews col suo libro del 1935 I nuovi numeri: come l'accettazione di una base duodecimale semplificherebbe la matematica. Emerson notò e fece notare come, a causa della grande diffusione di multipli e fattori di dodici in molte unità di misura tradizionali, molti dei vantaggi di calcolo che l'adozione del Sistema Metrico Decimale vantava avrebbero potuto benissimo essere applicati anche ad un sistema in base dozzinale.[4]

Fu egli a suggerire l'utilizzo della Chi (χ) e della Epsilon (ε) minuscole per somiglianza alla X romana ed alla E di Eleven, in quanto l'utilizzo quotidiano di A e B similarmente ai sistemi esadecimale e vigesimale, in un testo in alfabeto latino, avrebbe potuto far confondere.

Un'altra notazione diffusa è quella introdotta da Sir Isaac Pitman, che suggerì l'utilizzo di un 2 rovesciato (ᘔ) per il dieci e lo stesso per il 3 (Ɛ) come undici. A sostegno vi è il fatto che, essendo simboli ispirati a cifre già esistenti, sarebbe stato più facile per le masse abituarsi a riconoscerli come veri numeri, piuttosto che simboli artificiali. Per questo ᘔ e Ɛ sono stati adottati dalla Dozenal Society of Great Britain, che si è battuta per farli inserire tra i caratteri Unicode.

Altre proposte sono state asterisco e cancelletto (* e #) per il fatto di essere già presenti sulle tastiere dei telefoni, ma sono stati criticati per il non avere forme verosimili per essere cifre. Si pensò così a Φ (unione grafica di 1 e 0) e +, x o † (incrocio dei due 1), ma l'uso di questi ultimi tre simboli avrebbe potuto far confondere coi simboli di addizione o moltiplicazione.

Un problema con queste cifre, però, sia ᘔ & Ɛ che le altre varianti, è che non possono essere rappresentate nei famosi display a sette segmenti, oppure possono esservi scritti ma in modo uguale ad altri caratteri (ᘔ=2, Ɛ=E di errore).

La Dozenal Society of America e la Dozenal Society of Great Britain promuovono l'adozione diffusa del sistema in base 12. Le due associazioni specificano che preferiscono utilizzare la parola "dozzinale" anziché "duodecimale" poiché quest'ultima mantiene una radice latina con riferimenti ad una terminologia decimale, mentre la dozzina indica una tradizionale unità di misura in base dodici che non prende in considerazione il numero dieci.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b (EN) Dozenal Society of Great Britain
  2. ^ a b c (EN) Base 12: Dozenal, or Duodecimal, James Grime, 2012, Numberphile
  3. ^ a b c (EN) Little Twelve Toes, Bob Dorough, 1973, Schoolhouse Rock
  4. ^ a b c (EN) New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal Base Would Simplify Mathematics, F. Emerson Andrews, 1935
  5. ^ (EN) Decimal vs.Duodecimal, Shuji Matsushita, 1998
  6. ^ (FR) Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes, Martine Mazaudon, 2002, La Pluralité
  7. ^ (EN) The peculiarities of the Old English numeral system, Ferdinand von Mengden, 2006
  8. ^ (EN) Cardinal Numerals: Old English from a Cross-Linguistic Perspective, Ferdinand von Mengden, 2010



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