Teorema di Kakutani

In matematica, il teorema di Kakutani è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori.

Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua famosa prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.

Definizioni preliminari

Un'"applicazione a più valori" f da un insieme X a un insieme Y è una legge che associa uno o più elementi di Y ad ogni punto di X. Formalmente si può rappresentare come una funzione da X all'insieme delle parti di Y, e scritta come f :  X→2^Y.

Dati due spazi metrici X ed Y, un'applicazione a più valori f :  X→2^Y si dice "chiusa" se per ogni successione $(x_n,y_n)$ con $x_n\to x_0$, $y_n\to y_0$ e $y_n\in f(x_n)$, si ha $y_0\in f(x_0)$.

Sia f: X→2^X una funzione a più valori. Allora a ∈ X è un punto fisso di f se a ∈ f(a).

Enunciato

Sia dato uno spazio euclideo X di dimensione finita, e sia K un sottoinsieme di X, compatto, convesso e non vuoto.

Sia $f\colon K\to 2^K$ un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

1. f è chiusa;
2. per ogni $x\in K$, $\ f(x)$ è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Allora f ammette almeno un punto fisso in K.

Esempi

Sia f(x) una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso [0, 1] che fa corrispondere al punto x l'intervallo chiuso [1 − x/2, 1 − x/4]. Allora f(x) soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca $f\colon [0,1] \to 2^{[0,1]}$ che ad ogni x in [0, 1/2] fa corrispondere il singleton {1} e ad ogni x in [1/2, 1] fa corrispondere il singleton {0}, soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale f non ha punti fissi.

Bibliografia

• Kakutani, Shizuo (1941). A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem. Duke Mathematical Journal 8 (3): 457–459. DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.

• Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.

• Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1989.

Voci correlate

• Punto fisso
• Teorema del punto fisso di Brouwer
• Teorema del punto fisso di Schauder
• Funzione a più valori
• Teorema di punto fisso di Ryll-Nardzewski

Collegamenti esterni

• Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)

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