Teorema di Kakutani

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In matematica, il teorema di Kakutani è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori.

Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua famosa prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.

Definizioni preliminari[modifica | modifica sorgente]

Un'"applicazione a più valori" f da un insieme X a un insieme Y è una legge che associa uno o più elementi di Y ad ogni punto di X. Formalmente si può rappresentare come una funzione da X all'insieme delle parti di Y, e scritta come f :  X→2Y.

Dati due spazi metrici X ed Y, un'applicazione a più valori f :  X→2Y si dice "chiusa" se per ogni successione (x_n,y_n) con x_n\to x_0, y_n\to y_0 e y_n\in f(x_n), si ha y_0\in f(x_0).

Sia fX→2X una funzione a più valori. Allora a ∈ X è un punto fisso di f se a ∈ f(a).

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia dato uno spazio euclideo X di dimensione finita, e sia K un sottoinsieme di X, compatto, convesso e non vuoto.

Sia f\colon K\to 2^K un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

  1. f è chiusa;
  2. per ogni x\in K, \ f(x) è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Allora f ammette almeno un punto fisso in K.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sia f(x) una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso [0, 1] che fa corrispondere al punto x l'intervallo chiuso [1 − x/2, 1 − x/4]. Allora f(x) soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca f\colon [0,1] \to 2^{[0,1]} che ad ogni x in [0, 1/2] fa corrispondere il singleton {1} e ad ogni x in [1/2, 1] fa corrispondere il singleton {0}, soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale f non ha punti fissi.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
  • Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1989.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)
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