Struttura causale

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La struttura causale di una varietà lorentziana descrive i rapporti causali tra punti della varietà.

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

Nella fisica moderna, in particolare nella teoria della relatività, lo spaziotempo è rappresentato da una varietà Lorentziana. I punti della varietà sono interpretati come eventi nello spaziotempo e il loro rapporto causale si traduce nel fatto che eventi (ovvero punti della varietà) possano influenzare altri eventi.

Nello spaziotempo di Minkowski, ogni evento O individua un cono di luce che divide lo spazio tempo in regioni distinte: il futuro (insieme dei punti che possono essere influenzati da O), il passato (eventi che hanno influenzato O) e il presente (eventi che non hanno correlazione causale con O)

Lo spaziotempo di Minkowski, proprio della relatività ristretta, è un esempio di varietà lorentziana a curvatura nulla (ovvero piatta). La struttura causale dello spaziotempo di Minkoski risulta semplificata: per ogni evento è possibile tracciare un cono di luce e suddividere lo spazio in regioni disgiunte: il futuro, il passato e il presente dell'evento, come mostrato in figura.

Tuttavia nella relatività generale la varietà in cui vive la teoria (ossia, lo spaziotempo) in generale può presentare una curvatura. La struttura causale si determina tracciando delle curve (ossia funzioni regolari[1]) che uniscano due punti dello spaziotempo. Delle condizioni sui vettori tangenti alla curva definiscono la relazione causale tra i due punti (e la natura causale della curva stessa).

Struttura causale[modifica | modifica sorgente]

sia \,(M,g) una varietà lorenziana M dotata di metrica g. La metrica ha segnatura[2]

g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \

Sia X un vettore appartenente allo spazio tangente V_P di un punto P della varietà M, esso può essere classificati in tre famiglie distinte a seconda del segno della sua norma quadra[3]||X||^2 = g(X,X) = g_{ab} X^aX^b = X_aX^a:

  • vettori di tipo tempo (timelike) se \,g(X,X) < 0
  • vettori nulli o di tipo luce (lightlike) se \,g(X,X) = 0
  • vettori di tipo spazio (spacelike) se \,g(X,X) > 0

Le definizioni dipendono dal fatto che abbiamo usato la convenzione (-,+,+,+,\cdots) per la segnatura della metrica).Ovviamente nelle disequazioni precedenti è necessario cambiare il verso delle disequazioni se si cambia la convenzione.

Questi nomi sono utilizzati anche nel caso dello spaziotempo di Minkowski. In questo caso possiamo dire che punti dello spaziotempo di Minkowski collegati collegati da un vettore di tipo tempo o di tipo luce sono causalmente correlati, mentre tra punti collegati da vettori di tipo spazio non c'è correlazione causale.

Orientabilità temporale[modifica | modifica sorgente]

In ogni punto della varietà M, i vettori timelike che appartengono allo spazio tangente del punto possono essere divisi in due classi di equivalenza. Per questo si definisce una relazione di equivalenza tra coppie di vettori tangenti timelike.

Se X e Y sono due vettori tangenti timelike in un punto P diciamo che X e Y sono equivalenti (e si scrive X \sim Y) se \,g(X,Y) > 0[4].

Si individuano due classi di equivalenza, possiamo chiamare una di queste classi come la classe di equivalenza dei vettori timelike diretti futuri (future-directed vectors) e l'altra classe dei vettori diretti passati (past-directed vectors). Da queste due classi vengono esclusi i vettori lightlike. Fisicamente, l'individuazione di vettori diretti futuri e duretti passati corrisponde alla scelta di un verso per la direzione temporale. Una delle due classi può essere estesa per comprendere anche i vettori lightlike.

Una varietà loretziana è orientabile temporalmente (time-orientable) [5] se è possibile mappare con continuità la struttura causale su tutti i punti della varietà, ovvero se è possibile mappare tra loro le classi di vettori diretti futuri e diretti passati relativi a spazi tangenti di punti diversi della varietà. Un altro modo di descrivere l'orientabilità temporale è la possibilità di mappare le falde future e passate dei coni luce in ogni punto tra loro.

Curve[modifica | modifica sorgente]

Le curve (regolari) in  M , vale a dire funzioni continue e con derivate continue da R in M, \gamma(t) = P possono essere classificate in

  • curve cronologiche (o timelike) se il vettore tangente in ogni punto della curva è timelike.
  • curve nulle (o lightlike) se il vettore tangente è di tipo lightlike.
  • curve spacelike se il vettore tangente in ogni punto della curva è spacelike.
  • curve causali (o non-spacelike) se il vettore tangente è timelike or nullo in ogni punto della curva.

Se la varietà è orientabile temporalmente le curve cronologiche e causali possono esseree classificate in base alla loro orientazione temporale: esse possono essere distinte in curve cronologiche (causali) future o passate a seconda che i loro vettori tangenti siano timelike (o anche nulli per curve causali) diretti futuri o diretti passati.

Queste definizioni si applicano solamente alle curve cronologiche e causali poiché solo queste classi di curve hanno vettori tangenti ai quali è possibile assegnare un'orientazione temporale.

L'assunzione di regolarità implica che il vettore tangente non sia mai zero (è necessario fare quest'assunzione affinché non siano permesse curve causali chiuse, come, per esempio, curve la qui immagine sia un solo punto)[senza fonte].

Relazioni causali[modifica | modifica sorgente]

Dati due punti P, Q della varietà M è possibile individuare diverse relazioni causali tra essi:

  • P precede cronologicamente Q (spesso indicato con \,P \ll Q) se esiste una curva cronologiaca (timelike) diretta futura congiungente P a Q.
  • P precede causalmente Q (spesso indicato con P \prec Q o P \le Q) se esiste una curva causale (non-spacelike) diretta futura congiungente P a Q o P=Q[senza fonte]. Si dice che P precede causalmente in senso stretto Q (x < y) quando P \neq Q.

Queste relazioni sono transitive[7], dati P, Q, Z:

  • P \ll Q, Q \ll Z implica P \ll Z
  • \,P \prec Q, \,Q \prec Z implica \,P \prec Z e soddisfa [7]
  • P \ll Q implica P \prec Q (segue dalla definizione)
  • P \ll Q, Q \prec Z implica P \ll Z
  • P \prec Q, Q \ll Z implica P \ll Z

Struttura causale[modifica | modifica sorgente]

Per un punto P nella varietà M si definiscono gli insiemi seguenti[7]:

  • Il futuro cronologico di P, indicato con \,I^+(P), è definito come l'insieme di tutti i punti Q di M tali che P precede cronologicamente Q:\,I^+(x) = \{ Q \in M | P \ll Q\}
  • The passato cronologico di P, indicato con \,I^-(P), è definito come l'insieme di tutti i punti Q in M tali che Q precede cronologicamente x: \,I^-(x) = \{ y \in M | y \ll x\}

In modo analogo si definiscono:

  • Il futuro causale (anche detto futuro assoluto) di P, indicato con \,J^+(P), è definito come l'insieme di tutti i punti Q di M tali che P precede casualmente Q: \,J^+(x) = \{ y \in M | x \prec y\}
  • The passato casuale (anche detto passato assoluto) di P, indicato con \,J^-(P), è definito come l'insieme di tutti i punti Q di M tali che Q precede casualmente P: \,J^-(x) = \{ y \in M | y \prec x\}

Si possono dare definizioni equivalenti degli insiemi \, I^+(P), \, I^-(P), \, J^+(P), \, J^-(P) facendo uso di curve. Per esempio i punti di \, I^+(x) possono essere definiti come i punti che possono essere raggiunti a partire da P attraverso una curva cronologica (timelike) diretta futura, i.e. \, I^+(P) = \{ Q \in M | \exists \gamma(t)curva cronologica diretta futura | \gamma(0) = P,  \gamma(1) = Q\}[8]. Si danno definizione analoghe per gli altri insiemi.

Come esempio semplice, nello spaziotempo di Minkowski l'insieme \,I^+(P) è l'interno del cono di luce futuro centrato in P. L'insieme \,J^+(x) è l'intero cono di luce futuro in P (compreso anche il cono stesso, ossia il bordo che in \,I^+(P)).

Gli insiemi \,I^+(P) ,I^-(P), J^+(P), J^-(P) definiti per tutti i punti P in M, sono chiamati struttura causale di M.

Dato un sottoinsieme S di M si definiscono:[7]

I^\pm(S) = \bigcup_{x \in S} I^\pm(x)
J^\pm(S) = \bigcup_{x \in S} J^\pm(x)

Dati S, T due sottoinisiemi di M si definiscono:

  • Il futuro cronologico di S relativo a T': I^+(S,T) = I^+(S) \cap T
  • The futuro causale di S relativo a T':  J^+(S,T) = J^+(S) \cap T

E in modo analogo il passato cronologico e il passato causale.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Un punto P appartiene a \,I^-(Q) se e solo se Q appartiene a \,I^+(x).
  • P \prec Q \implies I^-(P) \subset I^-(Q)
  • P \prec Q \implies I^+(Q) \subset I^+(P)
  • I^+[S] = I^+[I^+[S]] \subset J^+[S] = J^+[J^+[S]]
  • I^-[S] = I^-[I^-[S]] \subset J^-[S] = J^-[J^-[S]]

Proprietà Topologiche della struttura causale:

  • I^\pm(x) è aperto per tutti i P in M.
  • I^\pm[S] è aperto per tutti i sottoinsiemi di M, S \subset M.
  • I^\pm[S] = I^\pm[\overline{S}] per tutti i sottoinsiemi S \subset M. \overline{S} indica la chiusura di un sottoinsieme S.
  • J^\pm[S] \subset \overline{I^\pm[S]}

Geometria conforme[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi mappa conforme.

Due metriche \,g e \hat{g} si dicono conformemente correlate[9] se esiste una funzione \Omega reale e regolare (per esempio di classe C^\infty), detta fattore conforme, tale che \hat{g} = \Omega^2 g.

Si può verificare direttamente per sostituzioni che le trasformazioni conformi non cambiano la struttura causale assegnata alla varietà con la metrica \,g. Per esempio sia X un vettore tangente timelike appartenente allo spazio tangente del punto P di M con la metrica g. Allora usando la convenzione precedente \,g(X,X) = g_{ab}X^aX^b < 0. Dopo una trasformazione conforme abbiamo \hat{g}(X,X) = \hat{g}_{ab} X^aX^b = \Omega^2 g_{ab}X^aX^b > 0 così che X è un vettore timelike anche rispetto a \hat{g}.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Robert M. Wald, General Relativity, 1a edizione, University of Chicago Press, 1984, ISBN 0226870332.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Per funzione regolare si intende una funzione continua e con un numero di derivate sufficienti per lo sviluppo della teoria, un buon esempio di funzioni regolare sono le funzioni di classe C^\infty .
  2. ^ Esistono due diverse convenzioni sul segno della matrice metrica: quella presentata, anche descritta come -+++, dal fatto che g = diag(-1, +1, +1, +1), è nota anche come east-coast convention (convenzione delle costa est [degli Stati Uniti]) e l'opposta west-coast convention (convenzione della costa ovest), +--- dove g = diag(+1, -1, -1, -1).
  3. ^ Si userà nel seguito la convenzione di Einstein e si ometterà il simbolo di sommatoria
  4. ^ Notiamo che il verso di questa diseguaglianza non dipende dalla convenzione utilizzata per la segnatura della metrica
  5. ^ (EN) Hawking & Israel 1979, p. 255
  6. ^ Penrose 1972, p. 15
  7. ^ a b c d Penrose 1972, p. 12
  8. ^ Se esiste una curva cronologica diretta futura che collega P e Q, allora è possibile riparametrizzarla affinché \gamma(0) = P, \gamma(1)=Q.
  9. ^ Hawking & Ellis 1973, p. 42

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]