Momento angolare assiale della luce

Il momento angolare assiale della luce (MAA) è la componente del momento angolare della luce associata allo spin quantico e alla polarizzazione circolare o ellittica dell'onda.

Introduzione

Polarizzazione circolare destra e sinistra e relativi momenti angolari associati

Le espressioni matematiche riportate a destra delle figure danno le tre componenti del campo elettrico, in notazione complessa, di un'onda piana polarizzata circolarmente che si propaga in direzione $z$ ($x$ e $y$ sono ortogonali alla direzione di propagazione). Adottando la convenzione dal punto di vista del ricevitore, al segno $\pm$ viene assegnato il segno positivo (+) per le polarizzazioni circolari di sinistra e negativo (-) per le polarizzazioni circolari di destra (-). Il MAA è diretto lungo l'asse del raggio (parallelo se positivo, antiparallelo se negativo).

Si può considerare che un'onda elettromagnetica sia polarizzata circolarmente quando i suoi campi elettrici e magnetici ruotano continuamente attorno all'asse del raggio durante la propagazione. La polarizzazione circolare è sinistra ($L$) o destra ($R$) a seconda della direzione di rotazione del campo e anche a seconda della convenzione utilizzata: dal punto di vista della sorgente o del ricevitore. Entrambe le convenzioni sono utilizzate nella scienza a seconda del contesto ed in ottica viene più comunemente usata la convenzione dal punto di vista del ricevitore.

Quando un raggio di luce è polarizzato in modo circolare, ciascuno dei suoi fotoni trasporta un momento angolare assiale (MAA) di $\pm \hbar$, dove $\hbar$ è la costante di Planck ridotta. La figura sopra mostra la struttura istantanea del campo elettrico di sinistra ( $L$ ) e destra ( $R$ ) luce polarizzata circolarmente nello spazio. Le frecce verdi indicano la direzione di propagazione.

Espressione matematica

L'espressione generale per il momento angolare assiale (MAA) nel limite parassiale è

$\mathbf {S} =\epsilon _{0}\int \left(\mathbf {E} \times \mathbf {A} \right)\,d^{3}\mathbf {r} ,$

indicando con $\mathbf {E}$ e $\mathbf {A}$ rispettivamente il campo elettrico e il potenziale vettore magnetico, $\epsilon _{0}$ è la permittività del vuoto utilizzando le unità di misura del SI.

Nel caso di onde monocromatiche:

$\mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\int \left(\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {E} \right)\,d^{3}\mathbf {r} .$

In questa espressione si può notare, in particolare, che il MAA è diverso da zero quando la polarizzazione della luce è ellittica o circolare, mentre svanisce se la polarizzazione della luce è lineare.

Nella teoria quantistica del campo elettromagnetico, il MAA è una grandezza quantistica osservabile, descritto da un operatore corrispondente:

$\mathbf {S} =\sum _{\mathbf {k} }\hbar \mathbf {u} _{\mathbf {k} }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}\right),$

dove $\mathbf {u} _{\mathbf {k} }$ è il vettore unitario nella direzione di propagazione, ${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\pi }^{\dagger }$ e ${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\pi }$ sono rispettivamente gli operatori di creazione e annichilazione per i fotoni nella modalità k e nello stato di polarizzazione $\pi$ .

In questo caso, per un singolo fotone il MAA può avere solo due valori (autovalori dell'operatore MAA):

$\mathbf {S} _{z}=\pm \hbar .$

Le corrispondenti autofunzioni che descrivono fotoni con valori quantizzati di MAA sono descritte come onde polarizzate circolarmente:

$|\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}.$

Bibliografia

• M. Born e E. Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light, 7thª ed., Cambridge, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-64222-4.
• L. Allen, Stephen M. Barnnet e Miles J. Padgett, Optical Angular Momentum, Bristol, Institute of Physics, 2003, ISBN 978-0-7503-0901-1.
• Juan P. Torres e Lluis Torner, Twisted Photons: Applications of Light with Orbital Angular Momentum, Bristol, Wiley-VCH, 2011, ISBN 978-3-527-40907-5.

Voci correlate

• Equazione di Helmholtz