Funzione spline

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In analisi matematica, una spline è una funzione, costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti (detti nodi della spline), in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia data  \Lambda \equiv \{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \} una suddivisione dell’intervallo chiuso [a,b]. Una funzione spline di grado p con nodi nei punti x_i con i = 0, 1, 2, \dots n è una funzione su [a,b] indicata con s_p(x) tale che, nell'intervallo [a,b] si abbia:

  1. in ogni sottointervallo [x_i,x_{i+1}] con i=0,1,2, \dots, n-1 la funzione s_p(x) è un polinomio di grado p.
  2. la funzione s_p(x) e le sue prime p-1 derivate sono continue.

Una funzione spline è interpolante se, oltre a soddisfare i due requisiti sopra indicati, passa per ognuno dei punti che la definiscono. In particolare, data la tabulazione (campionamento) di una funzione f(x) nei punti (x_i,y_i) con i=0,1,\dots,n è detta spline interpolante la spline s_p(x) tale che: s_p(x_i)=y_i ~ \forall i.

Indicata con s_{p,j}(x) la restrizione di una spline di grado p sul sottointervallo [x_j,x_{j+1}] j=0,\dots ,n-1, si può sempre pensare a s_{p,j}(x) nella forma

s_{p,j}(x)=\sum_{i=0}^{p}a_{ij}(x-x_j)^i

dove gli n(p+1) coefficienti a_{ij} (sono p+1 su ciascuno degli n sottointervalli) sono da determinare imponendo le condizioni di continuità di s_{p}^{(k)} nei nodi interni:

s_{p,j-1}^{(k)}(x_j)=s_{p,j}^{(k)}(x_j) per j=1, \ldots ,n-1 \quad k=0, \ldots, p-1.

Ciò però dà luogo a p(n-1) equazioni, pertanto il sistema di equazioni così ottenuto, ha n+p=n(p+1)-p(n-1) gradi di libertà. Anche nel caso delle spline interpolatorie, imponendo il passaggio della spline per i punti (x_i,y_i) \quad i=0 \ldots n, non si è ancora in grado di determinare p-1 coefficienti. Per questo motivo nella pratica si è soliti aggiungere delle condizioni aggiuntive, in maniera che il sistema abbia soluzione unica.

Le condizioni aggiuntive più usate sono di due tipi:

  • s_{p}^{(k)}(a)=s_{p}^{(k)}(b) per k=1,\ldots,p-1

spline che soddisfano questo tipo di condizioni sono dette spline periodiche;

  • s_{p}^{(m+j)}(a)=s_{p}^{(m+j)}(b)=0 \qquad j=0, \ldots , m-2

a patto però che sia p=2m-1    m \ge 2. Spline che soddisfano condizioni di questo tipo sono invece dette spline naturali[1].

Tra tutte le funzioni appartenenti allo spazio di Sobolev H2 che passano per n punti assegnati e che soddisfano una delle condizioni aggiuntive precedenti, la spline cubica interpolante è quella che minimizza l'integrale:

\ \left( \int \left| f''{(2)}(t) \right|^2 \, dt \right)^{1/2}

Tale integrale, se la derivata prima è piccola, può essere interpretato come una buona approssimazione della curvatura media. Il fatto che sia minimo giustifica l'affermazione che la spline è la funzione interpolante più liscia[2].

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni spline, come, per il caso di superfici, le funzioni di Bézier, hanno numerose applicazioni pratiche, in particolare nella progettazione meccanica.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ L'aggettivo naturale ha origini storiche. Originariamente le spline erano strumenti da disegno costituiti da un lungo flessibile, costretto con dei pesi a passare dai punti di interpolazione. Alle estremità, non avendo vincoli, era naturalmente rettilineo. Tra due punti, data la sua elasticità, la derivata quarta poteva considerarsi nulla, quindi era approssimabile con un polinomio di terzo grado.
  2. ^ Facendo ancora riferimento alle spline meccaniche, Questa proprietà traduce il fatto che il flessibile si dispone in modo da minimizzare la propria energia elastica

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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