Funzione spline

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In analisi matematica, una spline è una funzione, costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti (detti nodi della spline), in modo da essere continua (almeno fino ad un dato ordine di derivate) in ogni punto dell'intervallo.

[modifica] Definizione

Sia data $\Lambda \equiv \{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \}$ una suddivisione dell’intervallo chiuso $[a, b]$ . Una funzione spline di grado $p$ con nodi nei punti $x i$ con $i = 0, 1, 2, \dots n$ è una funzione su $[a, b]$ indicata con $s p (x)$ tale che, nell'intervallo $[a, b]$ si abbia:

1. in ogni sottointervallo $[x i, x i + 1]$ con $i=0,1,2, \dots, n-1$ la funzione $s p (x)$ è un polinomio di grado $p$ .
2. la funzione $s p (x)$ e le sue prime $p - 1$ derivate sono continue.

Una funzione spline è interpolante se, oltre a soddisfare i due requisiti sopra indicati, passa per ognuno dei punti che la definiscono. In particolare, data la tabulazione (campionamento) di una funzione $f (x)$ nei punti $(x i, y i)$ con $i=0,1,\dots,n$ è detta spline interpolante la spline $s p (x)$ tale che: $s_p(x_i)=y_i ~ \forall i$ .

Indicata con $s p, j (x)$ la restrizione di una spline di grado $p$ sul sottointervallo $[x j, x j + 1]$ $j=0,\dots ,n-1$ , si può sempre pensare a $s p, j (x)$ nella forma

$s_{p,j}(x)=\sum_{i=0}^{p}a_{ij}(x-x_j)^i$ , dove gli $n (p + 1)$ coefficienti $a i j$ (sono $p + 1$ su ciascuno degli $n$ sottointervalli) sono da determinare imponendo le condizioni di continuità di $s_{p}^{(k)}$ nei nodi interni:

$s_{p,j-1}^{(k)}(x_j)=s_{p,j}^{(k)}(x_j)$ per $j=1, \ldots ,n-1 \quad k=0, \ldots, p-1$ . Ciò però da luogo a $p (n - 1)$ equazioni, pertanto il sistema di equazioni così ottenuto, ha $n + p = n (p + 1) - p (n - 1)$ gradi di libertà. Anche nel caso delle spline interpolatorie, imponendo il passaggio della spline per i punti $(x_i,y_i) \quad i=0 \ldots n$ , non si è ancora in grado di determinare $p - 1$ coefficienti. Per questo motivo nella pratica si è soliti aggiungere delle condizioni aggiuntive, in maniera che il sistema abbia soluzione unica.
Le condizioni aggiuntive più usate sono di due tipi:

$s_{p}^{(k)}(a)=s_{p}^{(k)}(b)$ per $k=1,\ldots,p-1$ , splines che soddisfano questo tipo di condizioni sono dette spline periodiche;
$s_{p}^{(m+j)}(a)=s_{p}^{(m+j)}(b)=0$ $j=0, \ldots , m-2$ , a patto però che sia $p = 2 m - 1$ $m \ge 2$ . Spline che soddisfano condizioni di questo tipo sono invece dette spline naturali.

Tra tutte le funzioni appartenenti allo spazio di Sobolev H² che passano per n punti assegnati e che soddisfano una delle condizioni aggiuntive precedenti, la spline cubica interpolante è quella che minimizza l'integrale:

$\ \Big( \int |f''{(2)}(t)|^2\,dt \Big)^{1/2}$

Tale integrale può essere interpretato come una misura della curvatura media, almeno se la derivata prima è piccola. Questo permette di dire che la spline è la funzione interpolante più liscia.

[modifica] Applicazioni

Le funzioni spline, come, per il caso di superfici, le funzioni di Bézier, hanno numerose applicazioni pratiche, in particolare nella progettazione meccanica.

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