Funzione rampa

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La funzione rampa è una funzione reale elementare, facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto.

Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione rampa

La funzione rampa ( R(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) può essere definita analiticamente in svariati modi. Definizioni possibili sono:

R(x) := \begin{cases} x, & x \ge 0; \\ 0, & x<0 \end{cases}
  • la media di tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:
R(x) := \frac{x+|x|}{2}

ciò può essere derivato notando la definizione seguente:  max(a,b) = \frac{a+b+|a-b|}{2} , per cui a = x and b = 0

R\left( x \right) := xH\left( x \right)
R\left( x \right) := H\left( x \right) * H\left( x \right)
  • L'integrale della funzione gradino:
R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi

Proprietà analitiche[modifica | modifica wikitesto]

Non negatività[modifica | modifica wikitesto]

In tutto il dominio la funzione è non negativa, quindi il suo valore assoluto è pari a se stessa:

\forall x \in \mathbb{R}: R(x) \geqslant 0

e

\left| R \left( x \right) \right| = R\left( x \right)

  • Dimostrazione: attraverso la definizione [2] della media la funzione è non negativa nel I quadrante, e zero nel secondo; non è quindi mai negativa.

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

La sua derivata è la funzione gradino:

R'(x) = H(x)\ \mathrm{se}\ x \ne 0

Si dimostra dalla definizione [5].

Trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

 \mathcal{F}\left\{ R(x) \right\}(f)  =  \int_{-\infty}^{\infty}R(x) e^{-2\pi ifx}dx  =  \frac{i\delta '(f)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}}

Dove \delta (x) è la delta di Dirac.

Trasformata di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Laplace di R(x) si ottiene in questa maniera:

 \mathcal{L}\left\{ R\left( x \right)\right\} (s) = \int_{0}^{\infty} e^{-sx}R(x)dx = \frac{1}{s^2}.

Proprietà algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Invarianza alle iterazioni[modifica | modifica wikitesto]

Ogni funzione iterata della rampa è pari a se stessa cioè

 R \left( R \left( x \right) \right) = R \left( x \right) .


  • Dimostrazione:  R(R(x)):= \frac{R(x)+|R(x)|}{2} = \frac{R(x)+R(x)}{2} =
    =  \frac{2R(x)}{2} = R(x) .

Si applica la proprietà di non-negatività.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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