Coincidenza matematica

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In matematica, il termine coincidenza matematica è utilizzato quando due espressioni mostrano una somiglianza che non è spiegata dai teoremi. Una delle espressioni può essere un intero e la caratteristica sorprendente è il fatto che un numero reale è prossimo ad un intero piccolo, o, più in generale, a un numero razionale con un denominatore piccolo.

Dato il grande numero di modi di combinare le espressioni matematiche, uno potrebbe aspettarsi che si verifichino un gran numero di coincidenze; questo è un aspetto della cosiddetta legge dei piccoli numeri. Sebbene le coincidenze matematiche possano risultare utili, il loro interesse è principalmente a carattere di curiosità.

Alcuni esempi[modifica | modifica sorgente]

  • e^\pi\simeq\pi^e; corretto al 3% circa
  • \pi\simeq 22/7; corretto allo 0.03% circa; \pi\simeq 355/113, corretto alla sesta cifra decimale o allo 0.000008%.
  • \pi^2\simeq10; corretto al 3% circa. Questa coincidenza veniva usata nel progettare regoli calcolatori, dove le scale pieghevoli si piegano su \pi piuttosto che su \sqrt{10}, perché è un numero più utile ed ha l'effetto di piegare le scale all'incirca nello stesso punto;
  • \pi^2\simeq 227/23; corretto allo 0.0004%.
  • \pi^3\simeq31; corretto allo 0.02% circa.
  • \pi^4\simeq 2143/22; preciso per una parte su 10^{10} circa; scoperta di Srinivasa Ramanujan, il quale deve essersi accorto che la rappresentazione in frazione continua di \pi^4 comincia con [97; 2,2,3,1,16539,1,1,\ldots]..
  • \pi^5\simeq306; corretto allo 0.006% circa.

(La teoria delle frazioni continue fornisce un trattamento sistematico di questo tipo di coincidenza; e anche di alcune coincidenze come 2\times 12^2\simeq 17^2 (ovvero \sqrt{2}\simeq 17/12). Curiosamente le frazioni continue delle prime potenze di \pi raggiungono grandi numeri (>50) abbastanza presto, nel caso di \pi^3 e \pi^5 tanto presto quanto il primo denominatore.)

  • 1+1/\log(10)\simeq 1/\log(2); dall' osservazione di Donald Knuth che, a meno del 5%, \log_2(x)=\log(x)+\log_{10}(x).
  • 2^{10}\simeq 10^3; corretto al 2.4%, vedi Prefissi per multipli binari; implica che \log_{10}2=0.3; valore effettivo circa 0.30103; gli ingegneri fanno largo uso dell'approssimazione per cui 3 dB corrispondono a raddoppiare il livello di potenza. Usando questo valore approssimato di \log_{10}2, si possono derivare le seguenti approssimazioni per i logaritmi di altri numeri:
    • 3^4\simeq 10\cdot 2^3, da cui \log_{10}3=(1+3\log_{10})/4\simeq 0.475; il valore reale è 0.4771 circa.
    • 7^2\simeq 10^2/2, da cui \log_{10}7\simeq 1-\log_{10}2/2, o 0.85 circa (valore reale 0.8451).
  •  e^\pi\simeq\pi+20; corretto allo 0.004% circa.
  • e^{\pi\sqrt{n}} è vicino a un intero per molti valori di n, particolarmente per n=163; questo ha radici nella teoria algebrica dei numeri.
  • \pi secondi è un nanosecolo (ie 10^{-7} anni); corretto circa allo 0.5%.
  • un attoparsec per microfortnight è approssimativamente uguale a 1 pollice per secondo (il valore reale è di circa 1.0043 pollici per secondo).
  • un miglio è circa \phi chilometri (corretto allo 0.5% circa), dove \phi={1+\sqrt 5\over 2} è la sezione aurea. Dal momento che questa è il limite del rapporto di due termini successivi della Sequenza di Fibonacci, questo dà una sequenza di approssimazioni F_n mi = F_{n+1} km, e.g. 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
  • 2^{7/12}\simeq 3/2; corretto allo 0.1% circa. In musica, questa coincidenza significa che la scala cromatica di dodici toni include, per ogni nota (in un sistema a temperamento equabile, che dipende da questa coincidenza), una nota ad essa collegata dal rapporto di 3/2. Questo rapporto di 3/2 è l'intervallo musicale di una quinta e sta alla base del temperamento pitagorico, del temperamento naturale e invero dei più conosciuti sistemi musicali.
  • \pi\simeq\frac{63}{25}\left(\frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right); approssimato alla nona cifra decimale (scoperta di Ramanujan).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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