Coincidenza matematica

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In matematica, il termine coincidenza matematica è utilizzato quando due espressioni numeriche non correlate tra di loro hanno un valore molto simile.

Dato il grande numero di modi di combinare le espressioni matematiche, ci si potrebbe aspettare che si verifichino un gran numero di coincidenze; questo è un aspetto della cosiddetta legge dei piccoli numeri. Sebbene alcune coincidenze matematiche possano risultare utili come approssimazioni nella vita di tutti i giorni, il loro interesse è principalmente a carattere di curiosità quando riguardano numeri interi, frazioni con numeratore e denominatore piccolo oppure costanti matematiche usuali. A volte alcune coincidenze matematiche dipendono dalla base di numerazione adottata, o dal sistema di misura in cui si esprimono le costanti.

Alcuni esempi[modifica | modifica sorgente]

  • e^\pi\simeq\pi^e; corretto al 3% circa
  • \pi\simeq 22/7; corretto allo 0.03% circa; \pi\simeq 355/113, corretto alla sesta cifra decimale o allo 0.000008%.
  • \pi^2\simeq10; corretto al 3% circa. Questa coincidenza veniva usata nel progettare regoli calcolatori, dove le scale pieghevoli si piegano su \pi piuttosto che su \sqrt{10}, perché è un numero più utile ed ha l'effetto di piegare le scale all'incirca nello stesso punto;
  • \pi^2\simeq 227/23; corretto allo 0.0004%.
  • \pi^3\simeq31; corretto allo 0.02% circa.
  • \pi^4\simeq 2143/22; preciso per una parte su 10^{10} circa; scoperta di Srinivasa Ramanujan, il quale deve essersi accorto che la rappresentazione in frazione continua di \pi^4 comincia con [97; 2,2,3,1,16539,1,1,\ldots]..
  • \pi^5\simeq306; corretto allo 0.006% circa.

(La teoria delle frazioni continue fornisce un trattamento sistematico di questo tipo di coincidenza; e anche di alcune coincidenze come 2\times 12^2\simeq 17^2 (ovvero \sqrt{2}\simeq 17/12). Curiosamente le frazioni continue delle prime potenze di \pi raggiungono grandi numeri (>50) abbastanza presto, nel caso di \pi^3 e \pi^5 tanto presto quanto il primo denominatore.)

  • 1+1/\log(10)\simeq 1/\log(2); dall' osservazione di Donald Knuth che, a meno del 5%, \log_2(x)=\log(x)+\log_{10}(x).
  • 2^{10}\simeq 10^3; corretto al 2.4%, vedi Prefissi per multipli binari; implica che \log_{10}2=0.3; valore effettivo circa 0.30103; gli ingegneri fanno largo uso dell'approssimazione per cui 3 dB corrispondono a raddoppiare il livello di potenza. Usando questo valore approssimato di \log_{10}2, si possono derivare le seguenti approssimazioni per i logaritmi di altri numeri:
    • 3^4\simeq 10\cdot 2^3, da cui \log_{10}3=(1+3\log_{10})/4\simeq 0.475; il valore reale è 0.4771 circa.
    • 7^2\simeq 10^2/2, da cui \log_{10}7\simeq 1-\log_{10}2/2, o 0.85 circa (valore reale 0.8451).
  •  e^\pi\simeq\pi+20; corretto allo 0.004% circa.
  • e^{\pi\sqrt{n}} è vicino a un intero per molti valori di n, particolarmente per n=163; questo ha radici nella teoria algebrica dei numeri.
  • \pi secondi è un nanosecolo (ie 10^{-7} anni); corretto circa allo 0.5%.
  • un attoparsec per microfortnight è approssimativamente uguale a 1 pollice per secondo (il valore reale è di circa 1.0043 pollici per secondo).
  • un miglio è circa \phi chilometri (corretto allo 0.5% circa), dove \phi={1+\sqrt 5\over 2} è la sezione aurea. Dal momento che questa è il limite del rapporto di due termini successivi della Sequenza di Fibonacci, questo dà una sequenza di approssimazioni F_n mi = F_{n+1} km, e.g. 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
  • 2^{7/12}\simeq 3/2; corretto allo 0.1% circa. In musica, questa coincidenza significa che nella scala cromatica di dodici semitoni a temperamento equabile sette semitoni sono molto vicini all'intervallo musicale di una quinta giusta, cosa che ha favorito il passaggio dal temperamento pitagorico e dal temperamento naturale al temperamento equabile.
  • \pi\simeq\frac{63}{25}\left(\frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right); approssimato alla nona cifra decimale (scoperta di Ramanujan).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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