Forma quadratica

Template:Avvisounicode In matematica una forma quadratica è un polinomio omogeneo di grado 2 in un certo numero di variabili. Ad esempio la distanza tra due punti di uno spazio euclideo tridimensionale è ottenuta dalla radice quadrata di una forma quadratica in 6 variabili, le tre coordinate cartesiane ortogonali di ciascuno dei due punti.

Esempi di forme quadratiche in una, due e tre variabili sono dati da:

$F(x)=ax^{2}$

$F(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy$

$F(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz$

Si osservi che le funzioni quadratiche generali e le equazioni quadratiche non forniscono esempi di forme quadratiche.

Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb {K}$, sia $f$ una forma bilineare simmetrica su $V$.

Si definisce forma quadratica associata a $f$ l'applicazione:

$q:V\longrightarrow \mathbb {K}$

che ad ogni vettore dello spazio vettoriale $\mathbf {v} \in V$ associa il numero:

$q(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )$

Fissata una base dello spazio, se $\mathbf {x}$ è il vettore delle coordinate di $\mathbf {v}$ ed $M$ la matrice rappresentativa della forma quadratica, si ha:

$q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$

Proprietà

La forma quadratica così definita verifica le seguenti proprietà:

• $q(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{2}q(\mathbf {v} )$

• ${\frac {1}{2}}\left(q(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-q(\mathbf {v} )-q(\mathbf {w} )\right)=f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$

per $\lambda \in \mathbb {K} ;\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$.

La forma quadratica non è lineare, infatti dalla prima si ottiene:

$q(\lambda \mathbf {v} )=f(\lambda \mathbf {v} ,\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{2}q(\mathbf {v} )$

mentre dalla seconda si ottiene:

$q(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {w} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {w} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )+f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+f(\mathbf {w} ,\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ,\mathbf {w} )=q(\mathbf {v} )+2f(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+q(\mathbf {w} )$

Se si considera per la generica forma quadratica in due variabili l'espressione

$F(x,y)=ax^{2}+by^{2}+2cxy\$

si vede che essa può esprimersi come:

$q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$

con:

$\mathbf {x} =\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]\qquad M=\left[{\begin{matrix}a&c\\c&b\end{matrix}}\right]$

Questa osservazione si generalizza agevolmente alle forme in n variabili e alle matrici simmetriche n×n. Essa si può usare per mostrare che la teoria delle forme quadratiche coincide con quella delle forme simmetriche bilineari. Questo è consentito dal fatto che il cambiamento di notazioni che collega le due nozioni, con una sola eccezione, non pone alcuna difficoltà: si tratta solo di dimezzare i coefficienti dei binomi relativi a due diverse variabili. Questo si può fare per ogni campo, con l'unica eccezione costituita dai campi di caratteristica 2. Ad esempio, trattare le forme quadratiche reali e trattare le forme bilineari simmetriche (costruite mediante matrici simmetriche) corrisponde ad esaminare lo stesso oggetto da due punti di vista.

Forma quadratica sopra un modulo o uno spazio vettoriale

Sia $V$ un modulo sopra un anello commutativo $F$. In particolare, interessa il caso in cui $V$ è uno spazio vettoriale sopra un campo $F$.

Una funzione del genere $Q:V\to F$ viene detta forma quadratica sopra $V$ se:

• $Q(a\mathbf {u} )=a^{2}Q(\mathbf {u} )\qquad \forall a\in F\quad \forall \mathbf {u} \in V$
• L'applicazione:

$B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} )$

è una forma bilineare su $V$.

$B$ viene chiamata forma bilineare associata o polare. Si noti che per ogni vettore $\mathbf {u} \in V$ vale:

$2Q(\mathbf {u} )=B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )$

e di conseguenza se $B$ è invertibile in $F$ si può ricavare la forma quadratica dalla forma simmetrica bilineare $B$ con l'espressione:

$Q(\mathbf {u} )={1 \over 2}B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )$

Quando $B$ è invertibile, questa espressione evidenzia una corrispondenza biunivoca tra forme quadratiche su $V$ e forme bilineari simmetriche su $V$. Se $B$ una qualsiasi forma bilineare simmetrica, allora $B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )$ è sempre una forma quadratica. Questo fatto talora viene utilizzato per la definizione di una forma quadratica, ma se $B$ non è invertibile questa definizione è insufficiente in quanto non tutte le forme quadratiche possono ottenersi con tale costruzione.

Le forme quadratiche sopra l'anello degli interi sono dette forme quadratiche intere o reticoli interi. Essi svolgono ruoli importanti in teoria dei numeri e in topologia.

Due vettori $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ di $V$ sono detti ortogonali per $B$ se:

$B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0$

Il nucleo della forma bilineare $B$ è l'insieme degli elementi di $V$ che sono ortogonali a tutti gli elementi di $V$, mentre il nucleo della forma quadratica $Q$ è costituito da tutti gli elementi $\mathbf {u}$ del nucleo di $B$ per i quali $Q(\mathbf {u} )=0$. Se inoltre $B$ è invertibile, allora $Q$ e la sua forma bilineare associata $B$ hanno lo stesso nucleo.

La forma bilineare $B$ si dice forma bilineare nonsingolare se il suo nucleo si riduce allo 0. La forma quadratica $Q$ si dice forma quadratica nonsingolare se il suo nucleo è costituito dal solo 0.

Si dice gruppo ortogonale di una forma quadratica nonsingolare $Q$ il gruppo degli automorfismi di $V$ che preserva la forma $Q$.

Se $V$ è libero di rango n, si può scrivere una forma bilineare $B$ come matrice simmetrica ${\hat {B}}$ relativa a qualche base $\{\mathbf {e} _{i}\}$ di $V$. Le componenti di questa matrice ${\hat {B}}$ sono date da:

${\hat {B}}_{ij}=B(e_{i},e_{j})$

Se $B$ è invertibile, la forma quadratica $Q$ è ottenuta da:

$2Q(u)=\mathbf {u} ^{T}B\mathbf {u} =\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}u^{i}u^{j}$

dove gli $u_{i}$ sono i componenti di $\mathbf {u}$ in questa base.

Due altre proprietà delle forme quadratiche sono le seguenti.

• $Q$ ubbidisce alla legge del parallelogramma:

$Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)$

• I vettori $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ sono ortogonali rispetto a $B$ se e solo se:

$Q(u+v)=Q(u)+Q(v)$

Carattere di definizione di una forma quadratica

Si consideri una forma quadratica $Q$ definita su uno spazio vettoriale reale $V$. Essa si dice definita positiva se per ogni vettore $v\not =0$ di $V$ si ha $Q(v)>0$. Si dice invece definita negativa se per ogni vettore $v\not =0$ di $V$ si ha $Q(v)<0$. Quando nelle precedenti disuguaglianze si sostituiscono le disuguaglianze strette rispettivamente con $\geq$ e con $\leq$, si definiscono la forma quadratica semidefinita positiva e la forma quadratica semidefinita negativa, rispettivamente.

Criteri di classificazione

In generale una forma quadratica può essere:

• Definita positiva se $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$ per ogni $\mathbf {x} \neq 0$.
• Definita negativa se $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} <0$ per ogni $\mathbf {x} \neq 0$.
• Semidefinita positiva se $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} \geq 0$ per ogni $\mathbf {x} \neq 0$.
• Semidefinita negativa se $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} \leq 0$ per ogni $\mathbf {x} \neq 0$.
• Indefinita.

Per individuare il segno di una forma quadratica si possono utilizzare due Teoremi di Debreu:

Primo teorema di Debreu

Sia $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$ una forma quadratica con $M$ matrice simmetrica di ordine n, allora:

• La forma quadratica è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori della matrice $M$ sono maggiori di 0.
• La forma quadratica è definita negativa se e solo se tutti gli autovalori della matrice $M$ sono minori di 0.
• La forma quadratica è semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se tutti gli autovalori della matrice $M$ sono maggiori di 0 e ne esiste almeno uno uguale a 0.
• La forma quadratica è semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se tutti gli autovalori della matrice $M$ sono minori di 0 e ne esiste almeno uno uguale a 0.

Secondo teorema di Debreu

Sia $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$ una forma quadratica con $M$ matrice simmetrica di ordine n, allora:

• La forma quadratica è definita positiva se e solo se tutti minori principali dominanti hanno determinante maggiore di 0.
• La forma quadratica è definita negativa se e solo se i minori principali dominanti di ordine pari hanno determinante positivo e quelli di ordine dispari lo hanno negativo.
• La forma quadratica è semidefinita positiva se e solo se tutti minori principali hanno determinante maggiore o uguale a 0.
• La forma quadratica è semidefinita negativa se e solo se i minori principali di ordine pari hanno determinante maggiore o uguali a zero, quelli di ordine dispari lo hanno minore o uguale a zero.
• In tutti gli altri casi è indefinita.

Altro metodo

Dal momento che la ricerca degli autovalori non è in generale "semplice", altrettanto valido è il metodo di ridurre con mosse di Gauss, che preservino il determinante, (sommare a righe multipli di altre righe, spostare righe in un numero pari di volte, etc..) per ricondursi a una forma triangolare superiore con zeri sotto la diagonale. Il prodotto degli elementi della diagonale è il determinante, poi, se tutti gli elementi sono maggiori (risp. minori) di zero allora la forma quadratica associata è definita positiva (risp. negativa); se sono maggiori o uguali (risp. minori o uguali) a zero è semidefinita positiva (risp. semidefinita negativa); indefinita se alcuni elementi lungo la diagonale sono positivi e altri negativi. Ovviamente tutto ciò vale se la matrice di partenza è simmetrica, se non lo è si prende la sua parte simmetrica e si procede.

Forme isotrope e anisotrope

Una forma quadratica $Q$ sullo spazio $V$ si dice forma quadratica isotropa quando in $V$ si trova un vettore non nullo $v$ tale che $Q(v)=0$. In caso contrario si parla di forma quadratica anisotropa.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) J.W.S. Cassels, Rational Quadratic Forms, Academic Press, 1978, ISBN 0-12-163260-1.
• (EN) Yoshiyuki Kitaoka, Arithmetic of quadratic forms, Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-40475-4.
• (EN) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-1095-2.
• (EN) Symmetric Bilinear Forms, Springer-Verlag, 1973, ISBN 3-540-06009-X.
• (EN) O.T. O'Meara, Introduction to quadratic forms, Springer-Verlag, 1973, ISBN 3-540-66564-1.

Voci correlate

• Forma bilineare
• Modulo (matematica)
• Polinomio omogeneo

Collegamenti esterni

• (EN) A.V.Malyshev, Quadratic form, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) A.V.Malyshev, Binary quadratic form, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.