Identità di Ward-Takahashi

In teoria quantistica dei campi, una identità di Ward–Takahashi è una identità tra funzioni di correlazione che è una conseguenza delle simmetrie globali o di gauge della teoria, e che rimane valida dopo la rinormalizzazione.

L'identità di Ward–Takahashi dell'elettrodinamica quantistica (QED) fu originariamente usata da John Clive Ward e Yasushi Takahashi per correlare la rinormalizzazione della funzione d'onda dell'elettrone al suo fattore di rinormalizzazione del vertice, garantendo la cancellazione della divergenza ultravioletta a ogni ordine in teoria delle perturbazioni. Tra gli utilizzi successivi si annovera l'estensione della dimostrazione del teorema di Goldstone in tutti gli ordini in teoria delle perturbazioni.

Più generalmente, un'identità di Ward-Takahashi è la versione quantistica della conservazione della corrente classica associata a una simmetria continua per mezzo del teorema di Noether. Tali simmetrie in teoria quantistiche dei campi danno (quasi) sempre origine a queste identità di Ward-Takahashi generalizzate che impongono la simmetria a livello delle ampiezze quantistiche. Questo senso generalizzato dovrebbe distinto quando si legge la letteratura, come il libro di testo di Michael Peskin e Daniel Schroeder, dall'identità di Ward–Takahashi originale.

La discussione seguente tratta della QED, una teoria di gauge abeliana su cui si applica l'identità. Le equivalenti identità per le teorie non abeliane come la cromodinamica quantistica (QCD) sono le identità di Slavnov-Taylor.

Identità di Ward-Takahashi

L'identità di Ward-Takahashi si applica alle funzioni di correlazione nello spazio degli impulsi, che non hanno necessariamente tutti i loro impulsi esterni on-shell. Sia

${\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})$

una funzione di correlazione in QED che coinvolge un fotone esterno con impulso k (dove $\epsilon _{\mu }(k)$ è il vettore di polarizzazione del fotone ed è implicita la somma su $\mu =0,\ldots ,3$), n elettroni allo stato iniziale con impulsi $p_{1}\cdots p_{n}$, e n elettroni allo stato finale con impulsi $q_{1}\cdots q_{n}$. Si definisce anche ${\mathcal {M}}_{0}$ come l'ampiezza più semplice che si ottiene rimuovendo il fotone con impulso k dall'ampiezza originale. Allora l'identità di Ward–Takahashi è

${\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.\\\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}$

dove e è la carica dell'elettrone e ha segno negativo. Si noti che se ${\mathcal {M}}$ ha i suoi elettroni esterni on-shell, allora le ampiezze sul membro di destra di questa identità hanno ciascuna una particella esterna off-shell, e pertanto non contribuiscono agli elementi della matrice S.

Identità di Ward

L'identità di Ward è un caso particolare dell'identità di Ward–Takahashi applicata agli elementi della matrice S, che descrivono i processi di scattering fisicamente possibili e quindi hanno tutte le loro particelle esterne on-shell. Sia ancora${\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)$ l'ampiezza per un certo processo di QED che coinvolge un fotone esterno con impulso $k$, dove $\epsilon _{\mu }(k)$ è il vettore di polarizzazione del fotone. Allora l'identità di Ward si scrive:

$k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0$

Fisicamente, ciò che questa identità significa è che la polarizzazione longitudinale del fotone che nasce nel termine di ξ gauge non è fisico e sparisce dalla matrice S.

Tra gli esempi di questo si annoverano il vincolo alla struttura tensoriale della polarizzazione del vuoto e della funzione vertice dell'elettrone in QED.

Identità di Slavnov-Taylor

Le identità di Slavnov–Taylor sono la generalizzazione delle identità di Ward–Takahashi alle teorie di gauge non abeliane. Queste identità sono state originariamente scoperte da Gerard 't Hooft, e prendono il nome da Andrei Slavnov e John Clayton Taylor che le hanno riformulato per farle valere anche off-shell.