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Su una [[Popolazione (statistica)|popolazione]] di <math>n</math> osservazioni congiunte <math>(x_i,y_i)</math>, di rispettive [[Media (statistica)|medie]] <math>\bar{x}</math> e <math>\bar{y}</math>, la covarianza osservata è |
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Su una [[Popolazione (statistica)|popolazione]] di <math>n</math> osservazioni congiunte <math>(x_i,y_i)</math>, di rispettive [[Media (statistica)|medie]] <math>\bar{x}</math> e <math>\bar{y}</math>, la covarianza osservata è |
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:<math> \sigma_{X,Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right)\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i\right)</math>. |
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:<math> \sigma_{X,Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_iy_i-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i\right)</math>. |
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Uno [[stimatore]] della covarianza su un [[Campione (statistica)|campione]] di <math>N</math> osservazioni congiunte <math>(x_i,y_i)</math> è |
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Uno [[stimatore]] della covarianza su un [[Campione (statistica)|campione]] di <math>N</math> osservazioni congiunte <math>(x_i,y_i)</math> è |
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:<math>S_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i y_i}{N}-\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}\frac{\sum_{i=1}^N y_i}{N}</math> |
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:<math>S_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i}{n-1}-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n-1}\frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n-1}</math> |
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La [[varianza]] e la covarianza intervengono per definire l'[[indice di correlazione di Pearson]] |
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La [[varianza]] e la covarianza intervengono per definire l'[[indice di correlazione di Pearson]] |
In matematica, in particolare in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili aleatorie è un numero Cov(X,Y) che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.
Definizione
La covarianza di due variabili aleatorie X e Y è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:
La covarianza di X e Y può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
Infatti per la linearità del valore atteso risulta
Proprietà
La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie X, Y e Z, e costanti a e b:
Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono non correlate.
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere non correlate.
Ad esempio, se X è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo [-1,1] e Y=X2, allora
- .
Varianza
La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza
e compare come termine di correzione nella relazione
Più in generale, per variabili aleatorie e vale
come caso particolare di
- .
Statistica
In statistica la covarianza di due variabili statistiche e , indicata come , è un indice di variabilità congiunta.
Su una popolazione di osservazioni congiunte , di rispettive medie e , la covarianza osservata è
- .
Uno stimatore della covarianza su un campione di osservazioni congiunte è
La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Pearson
Voci correlate
Collegamenti esterni
Template:Concetti base di chimica analitica