Polinomi di Laguerre: differenze tra le versioni
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L_n(x):=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) \quad \ |
L_n(x):=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right), \quad \text{per} \quad n=0,1,2,3,\ldots |
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Essi sono [[polinomi ortogonali|polinomi mutuamente ortogonali]] rispetto al [[prodotto interno]] espresso da |
Essi sono [[polinomi ortogonali|polinomi mutuamente ortogonali]] rispetto al [[prodotto interno]] espresso da |
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:<math>\langle f,g \rangle = \int_0^\infty\, f(x) g(x) e^{-x} \,dx</math> |
:<math>\langle f,g \rangle = \int_0^\infty\, f(x) g(x) e^{-x} \,dx.</math> |
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La successione dei polinomi di Laguerre è una [[sequenza di Sheffer]]. |
La successione dei polinomi di Laguerre è una [[sequenza di Sheffer]]. |
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== Polinomi dei gradi più bassi == |
== Polinomi dei gradi più bassi == |
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I primi polinomi sono: |
I primi polinomi sono: |
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:<math>\,L_0(x)=1</math> |
:<math>\,L_0(x)=1,</math> |
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:<math>\,L_1(x)=-x+1</math> |
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:<math>L_2(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1</math> |
:<math>L_2(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1,</math> |
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:<math>L_3(x)=\frac{1}{6}\left(-x^3+9x^2-18x+6\right)</math> |
:<math>L_3(x)=\frac{1}{6}\left(-x^3+9x^2-18x+6\right).</math> |
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== Come integrale di contorno == |
== Come integrale di contorno == |
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La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se <math>X</math> è una [[variabile casuale]] con [[variabile casuale esponenziale|distribuzione esponenziale]] |
La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se <math>X</math> è una [[variabile casuale]] con [[variabile casuale esponenziale|distribuzione esponenziale]] |
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:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \ |
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x}, & \text{se } x>0, \\ 0, & \text{se } x<0, \end{matrix}\right.</math> |
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allora |
allora |
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:<math>E(L_n(X)L_m(X))=0 |
:<math>E(L_n(X)L_m(X))=0, \qquad n\neq m.</math> |
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La distribuzione esponenziale non è la sola [[variabile casuale gamma|distribuzione gamma]]. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è |
La distribuzione esponenziale non è la sola [[variabile casuale gamma|distribuzione gamma]]. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è |
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:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\alpha-1} e^{-x}/\Gamma(\alpha) & \ |
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\alpha-1} e^{-x}/\Gamma(\alpha), & \text{se } x>0, \\ 0, & \text{se } x<0, \end{matrix}\right.</math> |
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(vedi [[funzione gamma]]) si ricava dalla definizione dei '''polinomi generalizzati di Laguerre''': |
(vedi [[funzione gamma]]) si ricava dalla definizione dei '''polinomi generalizzati di Laguerre''': |
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:<math>L_n^{(\alpha)}(x):= |
:<math>L_n^{(\alpha)}(x):={x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} e^{-x} x^{n+\alpha}.</math> |
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{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} e^{-x} x^{n+\alpha}</math> . |
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Questi polinomi talora sono chiamati '''polinomi associati di Laguerre'''. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad <math>\alpha=0</math> |
Questi polinomi talora sono chiamati '''polinomi associati di Laguerre'''. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad <math>\alpha=0</math> |
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:<math>L^{(0)}_n(x)=L_n(x)</math> |
:<math>L^{(0)}_n(x)=L_n(x).</math> |
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I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo <math>[0,\infty)</math> rispetto alla funzione peso <math>x^\alpha e^{-x}</math>: |
I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo <math>[0,\infty)</math> rispetto alla funzione peso <math>x^\alpha e^{-x}</math>: |
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:<math>\int_0^{\infty} dx\, e^{-x}x^\alpha L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}</math> |
:<math>\int_0^{\infty} dx\, e^{-x}x^\alpha L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}.</math> |
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Per valori interi di <math>\alpha</math> la precedente espressione di definizione si può scrivere |
Per valori interi di <math>\alpha</math> la precedente espressione di definizione si può scrivere |
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:<math>L_n^{(m)}(x) = (-1)^m{d^m \over dx^m} L_{n+m}(x)</math> |
:<math>L_n^{(m)}(x) = (-1)^m{d^m \over dx^m} L_{n+m}(x).</math> |
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== Relazione con i polinomi di Hermite == |
== Relazione con i polinomi di Hermite == |
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:<math>H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)</math> |
:<math>H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)</math> |
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== Relazione con la serie ipergeometrica == |
== Relazione con la serie ipergeometrica == |
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I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di [[funzione ipergeometrica confluente]], come |
I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di [[funzione ipergeometrica confluente]], come |
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:<math>L^a_n(x) = {n+a \choose n} M(-n,a+1,x) =\frac{(a+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,a+1,x)</math> |
:<math>L^a_n(x) = {n+a \choose n} M(-n,a+1,x) =\frac{(a+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,a+1,x),</math> |
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dove <math>(a)_n</math> denota il [[simbolo di Pochhammer]]. |
dove <math>(a)_n</math> denota il [[simbolo di Pochhammer]]. |
Versione delle 16:10, 6 set 2021
In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con un'espressione alla Rodrigues
Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da
La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.
Polinomi dei gradi più bassi
I primi polinomi sono:
Come integrale di contorno
Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da
relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.
Polinomi di Laguerre generalizzati
La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se è una variabile casuale con distribuzione esponenziale
allora
La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è
(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:
Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad
I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo rispetto alla funzione peso :
Per valori interi di la precedente espressione di definizione si può scrivere
Relazione con i polinomi di Hermite
I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze
e
dove denota il polinomio di Hermite di grado
Relazione con la serie ipergeometrica
I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come
dove denota il simbolo di Pochhammer.
Bibliografia
- (EN) Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Mineola, Dover Publications, 1964, ISBN 0-486-61272-4. (capitolo 22).
Altri progetti
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su polinomi di Laguerre
Collegamenti esterni
- (EN) Laguerre polynomial, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Polinomi di Laguerre, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Polinomi di Laguerre, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- Laguerre polynomial in MathWorld
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 38390 · LCCN (EN) sh85073969 · GND (DE) 4293931-8 · BNE (ES) XX5170103 (data) · BNF (FR) cb12390508z (data) · J9U (EN, HE) 987007550692005171 |
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