Operatore momento angolare totale

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In meccanica quantistica, l'operatore momento angolare totale è responsabile delle rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di operatori momento angolare, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

È anche possibile dimostrare che il momento angolare totale è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Formalmente il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con si può indicare sia , sia e anche una composizione di momenti oppure o ancora .

Le proprietà dell'operatore momento angolare totale[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda ruotata di un angolo attorno all'asse , diventa:

.

Per una rotazione infinitesima si ha:

.

Proprietà di commutazione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Le proprietà di commutazione per l'operatore momento angolare totale sono:

,

dove sono le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani; in forma compatta è possibile scrivere:

,

dove è il tensore di Levi-Civita.

Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore .

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:

.

È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli operatori di posizione e impulso; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:

.

Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con ed ; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse. In forma compatta si ha:

,

dove e è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a per permutazioni pari degli indici, per permutazioni dispari e se .

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lo stesso discorso:

.

Spettro dell'operatore momento angolare totale[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Si è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. È possibile scegliere una sola componente (per esempio ) che commuta con ; in questo modo lo stato, che è autostato di entrambi gli operatori, può essere chiamato . Si possono trovare quali sono gli autovalori (a volte più propriamente indicati con , , oppure con , ) simultanei di questi operatori:

Per fare questo è necessario introdurre due operatori, detti operatori di scala:

,

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le seguenti proprietà:

.

L'operatore può essere espresso in termini di e operatori di scala nel seguente modo:

.

Se si fa agire sullo stato si ottiene:

.

Applicando l'autovalore di (cioè ) aumenta di ; viceversa applicando , l'autovalore viene diminuito di , da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando si ha:

,

cioè l'applicazione degli operatori cambia l'autovalore di , ma non di .

La relazione che lega e è:

.

Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale non possono superare quelli di , cioè :

.

Quindi l'autovalore di è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere . Posti il valore minimo e il valore massimo che può assumere , e applicando successivamente gli operatori di scala , deve essere che:

e .

Se si applica a si ottiene che:

,

da cui:

.

Quindi l'autovalore di è volte . A causa della limitatezza di e data la simmetria di cui deve godere rispetto al piano , si ha che deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto valori di , cioè .

Per gli autovalori di si ottiene:

,

e per gli autovalori di :

,

dove è il numero quantico del momento angolare totale, che può essere intero o semintero, ed è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matrice[modifica | modifica wikitesto]

Per analizzare la struttura delle matrici dei momenti angolari, si assuma che tali momenti siano calcolati sugli autostati già normalizzati; di conseguenza in questa base di autostati sia sia sono diagonali:

.

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

,

dove è un coefficiente. Utilizzando l'uguaglianza:

,

e ricavando l'espressione di e di , per si ha che:

.

In definitiva:

,

e gli elementi di matrice sono:

.

Per esempio per si ottiene:

.


Per le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

.

Per le matrici prendono la forma:

.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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