In meccanica quantistica , l'operatore momento angolare totale è responsabile delle rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale
L
^
=
r
^
×
p
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}}
perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di operatori momento angolare , essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.
È anche possibile dimostrare che il momento angolare totale
J
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}}
è il generatore delle rotazioni nello spazio.
Formalmente il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con
J
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}}
si può indicare sia
L
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}}
, sia
S
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}}
e anche una composizione di momenti
J
^
=
L
^
+
S
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}}
oppure
J
^
=
L
^
1
+
L
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}_{1}+{\hat {\mathbf {L} }}_{2}}
o ancora
J
^
=
S
^
1
+
S
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {S} }}_{1}+{\hat {\mathbf {S} }}_{2}}
.
L'operatore momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale , genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
ruotata di un angolo
ϕ
{\displaystyle \phi }
attorno all'asse
z
{\displaystyle z}
, diventa:
ψ
′
(
x
)
=
R
^
z
(
ϕ
)
ψ
(
x
)
=
e
i
ϕ
J
z
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi '(x)={\hat {R}}_{z}(\phi )\psi (x)=e^{i\phi J_{z}}\psi (x)}
.
Per una rotazione infinitesima si ha:
ψ
′
(
x
)
=
ψ
(
x
)
+
i
d
ϕ
J
z
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)+id\phi J_{z}\psi (x)\ }
.
Le proprietà di commutazione per l'operatore momento angolare totale sono:
[
J
^
x
,
J
^
y
]
=
i
ℏ
J
^
z
{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i\hbar {\hat {J}}_{z}}
[
J
^
y
,
J
^
z
]
=
i
ℏ
J
^
x
{\displaystyle [{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i\hbar {\hat {J}}_{x}}
[
J
^
z
,
J
^
x
]
=
i
ℏ
J
^
y
{\displaystyle [{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i\hbar {\hat {J}}_{y}}
,
dove
J
^
x
,
J
^
y
,
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}}
sono le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani ; in forma compatta è possibile scrivere:
[
J
^
i
,
J
^
j
]
=
i
ℏ
ε
i
j
k
J
^
k
{\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}}
,
dove
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
è il tensore di Levi-Civita .
Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore
J
^
2
=
J
^
x
2
+
J
^
y
2
+
J
^
z
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}}
.
Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:
[
J
^
z
,
J
^
2
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0}
[
J
^
x
,
J
^
2
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0}
[
J
^
y
,
J
^
2
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {J}}_{y},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0}
.
È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli operatori di posizione e impulso ; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:
[
J
^
x
,
x
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {x}}]=0}
[
J
^
x
,
y
^
]
=
i
ℏ
z
^
{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}}
[
J
^
x
,
z
^
]
=
−
i
ℏ
y
^
{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}}
.
Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con
J
^
y
{\displaystyle {\hat {J}}_{y}}
ed
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse. In forma compatta si ha:
[
J
^
i
,
x
^
j
]
=
i
ℏ
ε
i
j
k
x
^
k
{\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}}
,
dove
x
^
j
=
(
x
^
,
y
^
,
z
^
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}
e
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a
+
1
{\displaystyle +1}
per permutazioni pari degli indici,
−
1
{\displaystyle -1}
per permutazioni dispari e
0
{\displaystyle 0}
se
i
=
j
{\displaystyle i=j}
.
Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lo stesso discorso:
[
J
^
i
,
p
^
j
]
=
i
ℏ
ε
i
j
k
p
^
k
{\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}}
.
Si è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. È possibile scegliere una sola componente (per esempio
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
) che commuta con
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
; in questo modo lo stato, che è autostato di entrambi gli operatori, può essere chiamato
|
j
,
j
z
⟩
{\displaystyle |j,j_{z}\rangle }
. Si possono trovare quali sono gli autovalori
a
,
b
{\displaystyle a,b}
(a volte più propriamente indicati con
j
{\displaystyle j}
,
j
z
{\displaystyle j_{z}}
, oppure con
j
{\displaystyle j}
,
m
j
{\displaystyle m_{j}}
) simultanei di questi operatori:
{
J
^
2
|
j
,
m
j
⟩
=
ℏ
2
a
|
j
,
m
j
⟩
J
^
z
|
j
,
m
j
⟩
=
ℏ
b
|
j
,
m
j
⟩
{\displaystyle {\begin{cases}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}a|j,m_{j}\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =\hbar b|j,m_{j}\rangle \end{cases}}}
Per fare questo è necessario introdurre due operatori, detti operatori di scala :
J
^
±
=
J
^
x
±
i
J
^
y
{\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y}}
,
che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani . Questi operatori hanno le seguenti proprietà:
[
J
^
+
,
J
^
−
]
=
2
ℏ
J
^
z
{\displaystyle [{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}]=2\hbar {\hat {J}}_{z}}
[
J
^
z
,
J
^
±
]
=
±
ℏ
J
^
±
{\displaystyle [{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }}
[
J
^
2
,
J
^
±
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{\pm }]=0}
.
L'operatore
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
può essere espresso in termini di
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
e operatori di scala
J
^
±
{\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }}
nel seguente modo:
J
^
2
=
J
^
−
J
^
+
+
J
^
z
2
+
J
^
z
ℏ
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}\hbar }
.
Se si fa agire
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
sullo stato
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
{\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle }
si ottiene:
J
^
z
(
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
)
=
ℏ
(
b
±
1
)
(
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar (b\pm 1)\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)}
.
Applicando
J
^
+
{\displaystyle {\hat {J}}_{+}}
l'autovalore di
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
(cioè
b
{\displaystyle b}
) aumenta di
ℏ
{\displaystyle \hbar }
; viceversa applicando
J
^
−
{\displaystyle {\hat {J}}_{-}}
, l'autovalore viene diminuito di
ℏ
{\displaystyle \hbar }
, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
si ha:
J
^
2
(
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
)
=
ℏ
2
a
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar ^{2}a{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle }
,
cioè l'applicazione degli operatori
J
^
±
{\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }}
cambia l'autovalore di
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
, ma non di
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
.
La relazione che lega
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
e
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
è:
⟨
j
,
m
j
|
(
J
^
2
−
J
^
z
2
)
|
j
,
m
j
⟩
=
⟨
J
^
2
−
J
^
z
2
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle j,m_{j}|\left({\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right)|j,m_{j}\rangle =\left\langle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right\rangle \geq 0}
.
Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale
b
{\displaystyle b}
non possono superare quelli di
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
, cioè
a
{\displaystyle a}
:
−
a
≤
b
≤
a
{\displaystyle -{\sqrt {a}}\leq b\leq {\sqrt {a}}}
.
Quindi l'autovalore di
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
. Posti
b
m
i
n
{\displaystyle b_{min}}
il valore minimo e
b
m
a
x
{\displaystyle b_{max}}
il valore massimo che può assumere
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
, e applicando successivamente gli operatori di scala
J
^
+
,
J
^
−
{\displaystyle {\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}}
, deve essere che:
J
^
+
|
a
,
b
m
a
x
⟩
=
0
{\displaystyle {\hat {J}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0\;\;}
e
J
^
−
|
a
,
b
m
i
n
⟩
=
0
{\displaystyle \;\;{\hat {J}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0}
.
Se si applica
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
a
|
a
,
b
m
a
x
⟩
{\displaystyle |a,b_{max}\rangle }
si ottiene che:
J
^
2
|
a
,
b
m
a
x
⟩
=
(
b
m
a
x
2
ℏ
2
+
b
m
a
x
ℏ
2
)
|
a
,
b
m
a
x
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle }
,
da cui:
ℏ
2
a
=
(
b
m
a
x
2
+
b
m
a
x
)
ℏ
2
=
ℏ
2
b
m
a
x
(
b
m
a
x
+
1
)
{\displaystyle \hbar ^{2}a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)}
.
Quindi l'autovalore di
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
è
a
=
b
m
a
x
(
b
m
a
x
+
1
)
{\displaystyle a=b_{max}(b_{max}+1)}
volte
ℏ
2
{\displaystyle \hbar ^{2}}
. A causa della limitatezza di
b
{\displaystyle b}
e data la simmetria di cui
J
z
^
{\displaystyle {\hat {J_{z}}}}
deve godere rispetto al piano
x
y
{\displaystyle xy}
, si ha che
b
{\displaystyle b}
deve essere necessariamente o intero o semintero . Vi sono pertanto
(
2
b
m
a
x
+
1
)
{\displaystyle (2b_{max}+1)}
valori di
b
{\displaystyle b}
, cioè
b
=
{
−
b
m
a
x
,
−
b
m
a
x
+
1
,
…
,
b
m
a
x
−
1
,
b
m
a
x
}
{\displaystyle b=\{-b_{max},-b_{max}+1,\dots ,b_{max}-1,b_{max}\}}
.
Per gli autovalori di
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
si ottiene:
J
^
2
|
j
,
m
j
⟩
=
ℏ
2
j
(
j
+
1
)
|
j
,
m
j
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m_{j}\rangle }
,
e per gli autovalori di
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
:
J
^
z
|
j
,
m
j
⟩
=
m
j
ℏ
|
j
,
m
j
⟩
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar |j,m_{j}\rangle }
,
dove
j
{\displaystyle j}
è il numero quantico del momento angolare totale, che può essere intero o semintero, ed
m
j
=
{
−
j
,
−
j
+
1
,
…
,
j
−
1
,
j
}
{\displaystyle m_{j}=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}}
è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.
Per analizzare la struttura delle matrici dei momenti angolari, si assuma che tali momenti siano calcolati sugli autostati
|
j
,
j
m
⟩
{\displaystyle |j,j_{m}\rangle }
già normalizzati; di conseguenza in questa base di autostati sia
J
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}}
sia
J
^
z
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}}
sono diagonali:
⟨
j
′
,
m
j
′
|
J
^
2
|
j
,
m
j
⟩
=
j
(
j
+
1
)
ℏ
2
δ
j
′
j
δ
m
j
′
m
j
{\displaystyle \langle j',m'_{j}|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}}
⟨
j
′
,
m
j
′
|
J
^
z
|
j
,
m
j
⟩
=
m
j
ℏ
δ
j
′
j
δ
m
j
′
m
j
{\displaystyle \langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}}
.
Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:
J
^
+
|
j
,
m
j
⟩
=
c
+
|
j
,
m
j
+
1
⟩
{\displaystyle {\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =c_{+}|j,m_{j}+1\rangle }
,
dove
c
+
{\displaystyle c_{+}}
è un coefficiente. Utilizzando l'uguaglianza:
J
^
2
=
J
^
−
J
^
+
+
J
^
z
2
+
J
^
z
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}}
,
e ricavando l'espressione di
J
^
+
{\displaystyle {\hat {J}}_{+}}
e di
J
^
−
{\displaystyle {\hat {J}}_{-}}
, per
J
^
+
{\displaystyle {\hat {J}}_{+}}
si ha che:
|
c
+
|
2
=
ℏ
2
[
j
(
j
+
1
)
−
m
j
2
−
m
j
]
{\displaystyle |c_{+}|^{2}=\hbar ^{2}[j(j+1)-m_{j}^{2}-m_{j}]}
.
In definitiva:
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
=
ℏ
(
j
∓
m
j
)
(
j
±
m
j
+
1
)
|
j
,
m
j
±
1
⟩
{\displaystyle {\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}|j,m_{j}\pm 1\rangle }
,
e gli elementi di matrice sono:
⟨
j
′
,
m
j
′
|
J
^
±
|
j
,
m
j
⟩
=
(
j
∓
m
j
)
(
j
±
m
j
+
1
)
ℏ
δ
j
′
j
δ
m
j
′
m
j
±
1
{\displaystyle \langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle ={\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}\pm 1}}
.
Per esempio per
j
=
1
{\displaystyle j=1}
si ottiene:
J
^
x
=
ℏ
2
(
0
1
0
1
0
1
0
1
0
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}
J
^
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
0
i
0
−
i
0
i
0
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}
J
^
z
=
ℏ
(
1
0
0
0
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}
.
Per
j
=
1
2
{\displaystyle j={\frac {1}{2}}}
le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:
J
^
x
=
ℏ
2
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
J
^
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
i
0
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
J
^
z
=
ℏ
2
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
.
Per
j
=
3
2
{\displaystyle j={\frac {3}{2}}}
le matrici prendono la forma:
J
^
x
=
ℏ
2
(
0
3
0
0
3
0
2
0
0
2
0
3
0
0
3
0
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}}
J
^
y
=
ℏ
2
(
0
−
i
3
0
0
i
3
0
−
2
i
0
0
2
i
0
−
i
3
0
0
i
3
0
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}}
J
^
z
=
ℏ
2
(
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
3
)
{\displaystyle {\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}}
.
J.J Sakurai , Meccanica quantistica moderna , Bologna, Zanichelli , 2014, ISBN 978-88-08-26656-9 .
L.D. Landau e E.M. Lifshitz , Meccanica quantistica, teoria non relativistica , Roma, Editori Riuniti Univ., 2010, ISBN 978-88-64-73208-4 .