Autofunzioni del momento angolare

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In meccanica quantistica, le autofunzioni del momento angolare sono le autofunzioni che rappresentano gli autostati del momento angolare orbitale nella base della posizione.

Autofunzioni di Lz[modifica | modifica wikitesto]

Considerata la componente del momento angolare:

risolvendo l'equazione agli autovalori:

Riscriviamo l'operatore in coordinate polari sferiche:

Allora le derivate parziali diventano:

L'operatore diventa:

L'equazione agli autovalori per diventa ( dipende solo da ):

questa è un'equazione differenziale al primo ordine, con soluzione generale:

Non resta che trovare il valore della costante, che deve essere tale che:

da cui:

Per cui l'autofunzione di è in definitiva:

Le espressioni di ed sono:

ovviamente non vi è nessun motivo particolare per scegliere la componente , ma visto che una rotazione degli assi nello spazio non modifica lo stato quantistico, possiamo sempre immaginare di porci con l'asse z in modo tale che il momento angolare abbia proiezione su z.

Autofunzioni di L2[modifica | modifica wikitesto]

Riscriviamo il momento angolare (quadrato) in coordinate polari sferiche:

e gli operatori di scala sempre in coordinate polari sferiche:

Sappiamo che l'autofunzione è simultanea di e . Abbiamo trovato la soluzione di . Esprimiamo l'autofunzione completa con:

dove si è sostituita la soluzione per . Ci resta da determinare , che dipende solo dall'angolo . Per fare ciò cerchiamo la soluzione dell'equazione agli autovalori, ricordando che gli autovalori del momento angolare orbitale sono :

Esplicitiamo la soluzione per trovata sopra:

quindi eseguendo la derivata seconda sull'esponenziale al primo membro e semplificando :

Facciamo un cambio di variabile esprimendo tutto in termini di :

quindi:

Per questa equazione è quella di Liouville:

con soluzione:

La soluzione è:

dove C è una costante di normalizzazione.

Armoniche sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Armoniche sferiche e Tavola delle armoniche sferiche.

Abbiamo quindi trovato che l'autofunzione del momento angolare e della sua componente (è simultanea perché ) può essere espressa:

dove:

e

dove inglobiamo le costanti di normalizzazione nel fattore C. Quindi la soluzione completa è data:

queste soluzioni sono ben note alla fisica matematica e si chiamano armoniche sferiche, che dipendono ovviamente dai valori di ed . Le armoniche sferiche hanno importanti proprietà di parità, tra le quali:

che ha un diretto significato fisico, essa rappresenta l'inversione spaziale delle coordinate polari sferiche.

Di seguito si riportano le prime armoniche sferiche:

Armoniche sferiche con l = 0[modifica | modifica wikitesto]

Armoniche sferiche con l = 1[modifica | modifica wikitesto]

Armoniche sferiche con l = 2[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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