Modello di Einstein

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In meccanica statistica ed in fisica dello stato solido, il modello di Einstein è un modello sviluppato da Albert Einstein nel 1908 per calcolare il calore specifico di un solido.

Il modello di Einstein si basa quindi sull'ipotesi che gli atomi oscillino intorno alla loro posizione di equilibrio con una sola frequenza e che l'energia di oscillazione sia quantizzata. Tale modello tratta il solido come degli oscillatori isolati non interagenti con la stessa frequenza di risonanza.

Il modello di Einstein predice abbastanza correttamente la dipendenza ad alta temperatura del calore specifico molare. Tale modello coincide ad alta temperatura con il modello classico di Dulong-Petit. A temperature inferiori non rispetta perfettamente i risultati sperimentali. Tuttavia anche nel limite di T che tende a zero, anche con il modello di Einstein il calore specifico tende a zero.

Tale modello è in contrasto con il modello di Debye che tratta le vibrazioni del reticolo cristallino come fononi in una scatola.

Formula di Einstein per la capacità termica[modifica | modifica sorgente]

La formula di Einstein per la capacità termica di un solido è:

C_{V,m}= 3R \frac{\theta_E^2}{T^2} \frac {{e^{\theta_E \over T}}} {\left(  {{{e^{\theta_E \over T}} - 1}} \right)^2}

Dove \theta_E è la temperatura di Einstein.

\theta_E = \frac {h \nu}{k_B}

dove:

La temperatura di Einstein è una maniera di esprimere la frequenza delle oscillazioni degli atomi. Per temperature elevate (\theta_E>>T) si può sviluppare in serie l'esponenziale fermandosi ai primi due membri 1 + \frac{\theta_E}{T} + ...

Questo porta al risultato classico, in accordo con la legge di Dulong e Petit C_{V,m} = 3R.

A temperature molto basse (T<<\theta_E) l'esponenziale diventa

\frac {\theta_E}{T} \left( e^{- \frac{\theta_E}{2T}} \right) che tende a zero per T \to 0

La curva della capacità termica in rapporto a \frac{T}{\theta_E} ha una forma rispondente all'evidenza sperimentale, ma è poco precisa quantitativamente. Questo perché l'ipotesi di Einstein prevede che tutti gli oscillatori oscillino con la stessa frequenza mentre in realtà oscillano in un campo di frequenze. Il modello di Debye tiene conto di questo fatto.

Einstein ricavò la formula della capacità temica derivando l'energia interna, calcolata utilizzando il suo modello, rispetto alla temperatura.

 U = \frac {3N_A h \nu}{e^{\frac{h\nu}{k_B T}}- 1}

dove:

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Peter Atkins, Julio De Paula, Chimica Fisica, 4ª ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004. ISBN 8808096491

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]