In meccanica quantistica, l'oscillatore armonico quantistico è la trattazione di un sistema caratterizzato da un potenziale armonico. Si tratta di uno dei problemi più importanti nella fisica teorica, dal momento che ogni potenziale può essere approssimato ad un potenziale armonico nell'intorno di un punto di equilibrio.
Energia potenziale e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati dell'oscillatore armonico.
Risolvere un sistema in meccanica quantistica significa trovare gli autostati dell'operatore hamiltoniano ed i corrispondenti autovalori dell'energia, ovvero risolvere l'equazione di Schrödinger e trovare la funzione d'onda che descrive il sistema.
Non tutte le soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono accettabili: l'energia potenziale non può essere infinita. Questo implica che la distanza tra le particelle che costituiscono l'oscillatore non può essere mai zero o infinita.
Secondo il principio di corrispondenza, come nel caso classico l'hamiltoniana del sistema vale:

Dove abbiamo supposto che il sistema sia unidimensionale.
Nel caso di un sistema tridimensionale, l'hamiltoniana totale si può scindere in somma di tre hamiltoniane indipendenti, una per ogni dimensione.
Esistono due modi per risolvere questo sistema: uno analitico, che si basa sulla soluzione della equazione di Schrödinger ed uno algebrico, che si basa esclusivamente sull'algebra degli operatori
ed
(vedi commutatore), metodo messo a punto da Paul Adrien Maurice Dirac.
L'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico nella rappresentazione delle coordinate è:

che può essere scritta come:

Introduciamo due variabili adimensionali:

Sostituendo nell'equazione di Schrödinger si ha:

Per valori di
grandi, tali da poter trascurare
, l'andamento asintotico della funzione deve essere del tipo:

Il segno + deve essere scartato in quanto le soluzioni non sarebbero normalizzabili[1], per cui:

Poniamo, quindi:

Dove, sostituendo, si ottiene per
, la seguente equazione:

Per avere la soluzione generale, espandiamo in serie di potenze la funzione
:

Sostituendo nell'equazione differenziale e raggruppando i termini con potenze uguali si ottiene che:
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }[(m+2)(m+1)A_{m+2}+(\varepsilon -2m-1)A_{m}]\xi ^{m}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eef243704a2c059e68f6fc3f55bc588e73bfb1a)
E affinché questo sia vero tutti i coefficienti devono essere nulli:

Una volta noti
ed
, da questa equazione si possono ottenere tutti gli altri coefficienti
.
In particolare, si ha:

Per cui da un certo punto in poi questa serie si comporta come la serie:

e la funzione d'onda si comporta come:

Come già detto una funzione d'onda di questo tipo non è normalizzabile, per cui l'unico modo per avere soluzioni fisicamente accettabili è che lo sviluppo in serie di
sia finito, e che esso sia, in altri termini un polinomio.
Affinché questo avvenga deve esistere un intero n, positivo o nullo, tale che:

Infatti, utilizzando la relazione di ricorrenza, otteniamo:

Gli
sono quantizzati, dunque le energie sono quantizzate e valgono:

La funzione d'onda dello stato n è, quindi:

Dove gli

sono i polinomi di Hermite.
Un modo per calcolare i polinomi Hn
è quello di fissare i coefficienti
,
ai valori:

e di utilizzare la relazione di ricorrenza:

per calcolare gli altri coefficienti Am<n.
Così, ad esempio, per
, troviamo:

per
, dobbiamo porre:

per
, otteniamo:

da cui segue

Infine, per
, i coefficienti

generano, mediante la relazione di ricorrenza

Pertanto,

In maniera simile, possiamo ricavare gli altri polinomi di Hermite.
Sebbene normalizzabili, le funzioni
non sono a norma unitaria, mentre in genere gli stati in meccanica quantistica vengono scelti a norma unitaria.
Quello che si fa è dinserire una costante moltiplicativa
, in generale dipendente dal livello, per assicurare la norma unitaria.
In particolare le funzioni dello stato fondamentale e dei primi livelli eccitati valgono:




In generale, si ha

I valori medi e gli scarti quadratici medi della posizione e della quantità di moto, sugli autostati dell'Hamiltoniano, si ottengono con semplici integrali gaussiani




In accordo col principio d'indeterminazione, troviamo

e la minima indeterminazione si ha per n=0.
Per semplicità, da qui in poi, sebbene sia uso indicare gli operatori con un cappelletto, indicheremo gli operatori senza questo segno di distinzione, poiché non c'è alcun problema di ambiguità.
Si definiscono, prima di tutto, due nuovi operatori adimensionali
e
, nel modo seguente:

L'hamiltoniana H del sistema si potrà scrivere come:

dove:

Il commutatore tra
e tra
vale:
![{\displaystyle [{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5642c5cb4e835bce2dd110cf8ad3097ab859a0)
Si introducono, poi, altri due operatori
ed
, definiti nel modo seguente:


Il commutatore tra
e tra
vale:
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671da8b1eb59fe1c04e601cc7963a6511d88c74e)
Per motivi che saranno chiariti in seguito, l'operatore
viene chiamato operatore di distruzione (o operatore di abbassamento), mentre l'operatore
viene chiamato operatore di creazione (o operatore di innalzamento).
Possiamo calcolare il prodotto tra
ed
:

ma:
![{\displaystyle {\tilde {x}}{\tilde {p}}-{\tilde {p}}{\tilde {x}}=[{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412c6db6825f1e8f0b62eebc960012b524f848af)
quindi
[2]:


Si può introdurre ancora un nuovo operatore, detto operatore numero
, così definito:

e l'hamiltoniana diventa, allora:

Adesso abbiamo tutti gli elementi in mano per risolvere il sistema.
Come detto nell'introduzione dobbiamo trovare gli stati del sistema e i valori dell'energia.
Supponiamo che
sia uno stato del sistema con energia
, si deve, quindi, risolvere l'equazione:[3]

e per fare questo dobbiamo trovare gli autostati dell'operatore
:

Per trovare i valori possibili di
si devono dimostrare alcune proprietà.
I valori propri dell'operatore
sono positivi o nulli.
L'equazione precedente si può scrivere, esplicitando
:

Proiettando sullo stato
si ha:

In quanto gli stati di un sistema hanno norma unitaria per definizione.
Ma si ha anche:

Quindi:

Quindi, per definizione della norma di un vettore si ha che
≥0.
CVD.
Se
è un autostato di
di autovalore
, allora
è un autostato di
di autovalore
.
Si ha:

Ma, usando la relazione di commutazione di
ed
si ottiene che:

Per cui, sostituendo:

CVD.
Se
è autostato di
con autovalore
, allora
è autostato di
con autovalore
.
Si ha:

CVD.
Con l'aiuto di questi teoremi possiamo trovare gli autovalori di
.
Supponiamo che l'autovalore
sia positivo, non nullo e non intero e sia n la parte intera di
.
Lo stato
è un autostato con autovalore
, lo stato
è un autostato con autovalore
,..., lo stato
è un autostato con autovalore
, numero che è compreso tra 0 ed 1.
Applicando un'altra volta l'operatore
si ottiene lo stato
, di autovalore
, numero che è negativo.
Questo va contro il teorema 1, secondo il quale gli autovalori di
sono positivi o nulli, quindi il numero
deve essere intero (positivo o nullo, per il teorema 1), in modo tale che il vettore
sia il vettore nullo e che il vettore
non esista.
Poiché a partire da un autostato
qualsiasi si può ottenere un qualsiasi altro autostato, tramite opportuna applicazione degli operatori
ed
, segue che gli autovalori di
sono tutti i numeri naturali.
Ma gli autovalori di
sono anche quelli di H, per cui le energie degli autostati dell'oscillatore armonico sono quantizzate e valgono:

e gli autostati dell'energia sono gli autostati
dell'operatore numero.
Si noti che sebbene l'oscillatore armonico è un sistema oscillante gli autostati dell'operatore numero (e quindi dell'energia) sono stati stazionari, cioè non evolvono nel tempo.
Vediamo adesso come agiscono gli operatori di creazione e di distruzione
ed
.
Dal teorema 2 sappiamo che lo stato
è un autostato di
con autovalore
, e supponendo che i livelli di energia dell'oscillatore unidimensionale non siano degeneri,[4] si ha che:

La norma di questo vettore vale n,[5] quindi:

e:

In modo assolutamente identico si può mostrare che:

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac: l'operatore
fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore
fa passare i sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia.
Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati di
:

Utili relazioni, spesso utilizzate nei problemi, tra gli operatori posizione e impulso con a+ e a si ottengono esprimendo i primi in funzione dei secondi:


con analoghe relazioni per x2 e p2. Queste espressioni degli operatori vengono usate spesso in quanto agiscono in modo semplice sugli autoket dell'energia e permettono di evitare complicati prodotti scalari utilizzando le funzioni d'onda nella base della posizione o dell'impulso.
Abbiamo dimostrato che l'energia di uno stato
generico vale:

Per cui l'energia dello stato fondamentale vale:

Contrariamente al caso classico l'energia dello stato fondamentale non è nulla e questo è in totale accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg.
Mettiamoci in un'ottica semiclassica. Ricordiamo che il principio di indeterminazione dice che:

che, per lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico vale con il segno uguale (minima indeterminazione).
Il valore medio dell'hamiltoniana è dato da:

e dal principio di indeterminazione si ricava che:

Sostituendo nel valore medio dell'hamiltoniana si ottiene:

il minimo di questa espressione (ciò che equivale a mettersi nello stato fondamentale) si ha per:

Valore per il quale si ha:

Ovvero l'energia dello stato fondamentale.
Per trovare il legame tra il metodo analitico e quello algebrico si deve usare l'espressione esplicita degli operatori
ed
, in rappresentazione di Schroedinger delle coordinate.
Cominciamo dallo stato fondamentale, usando la relazione:

ovvero:

Esplicitando e rimaneggiando un po' l'espressione:

La soluzione di questa equazione è un esponenziale:

Le funzioni che descrivono gli altri stati si trovano per ricorrenza, tramite applicazione dell'operatore
, espresso in termini di
e
alla funzione dello stato fondamentale
.
Come si vede, quindi in entrambi i metodi si trova che l'energia è quantizzata, e che assume dei valori dipendenti dal numero quantico n del livello del sistema.
Le espressioni dell'energia sono identiche in entrambi i casi e le funzioni d'onda che si trovano sono le stesse: i due metodi, quindi, sono completamente equivalenti ed usare l'uno o l'altro per risolvere il sistema dipende dal gusto personale.
- ^ Per norma si intende in questo caso il seguente integrale:

Ovviamente, poiché si ha:

l'integrale non converge, mentre si ha:

e quindi l'integrale della norma converge.
Anche intuitivamente è difficile supporre che una particella tenda ad allontanarsi dall'origine quando c'è una forza di richiamo che tende a farla ritornare al punto di partenza.
- ^
Espressioni del tipo:

vanno intese evidentemente come:

dove
è l'operatore identità;
Stesso discorso vale per i commutatori, ad esempio, si dovrebbe scrivere:
![{\displaystyle [{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=iI.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2964e8a5365ed4d3c1c1ff43ea3523607516f7)
Tuttavia, per alleggerire la notazione, normalmente, si omette di indicare l'operatore I.
- ^ In pratica si devono trovare gli autostati e gli autovalori dell'operatore H.
- ^ Ciò vuol dire che ad ogni valore di energia corrisponde un solo stato quantistico. Si noti che questo è vero solo nel caso dell'oscillatore in una dimensione, gli stati dell'energia nell'oscillatore a due o a tre dimensioni sono degeneri.
- ^ Vedi la dimostrazione del teorema 1.
- Richard Feynman, La fisica di Feynman, vol. 1, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
- par. 41-3: Equipartizione e l'oscillatore quantistico
- David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2ª ed., Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X.
- Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8714-5.