Velocità terminale di caduta

Una sfera in caduta libera in un fluido dopo un transitorio iniziale viaggia a velocità costante, in quanto la somma vettoriale delle forze agenti su di essa è nulla.

La velocità limite (o velocità terminale di caduta) è la massima velocità che un corpo in caduta libera in un fluido può raggiungere.

Quando un corpo cade liberamente in un fluido acquista velocità per effetto dell'accelerazione dovuta alla forza di gravità. Nel suo procedere in questo moto il corpo incontra la resistenza del fluido che lo rallenta. Questa resistenza aumenta con il crescere della velocità del corpo. Ad un certo punto si verificherà che la forza di gravità e la resistenza dell'aria avranno la stessa intensità. Da quell'istante in poi il corpo, soggetto ad una risultante di forze nulla essendo uguali ed opposte le due forze che agiscono su esso, procederà ad una velocità costante, detta "velocità limite".

Descrizione matematica

Scelta l'origine degli assi coincidente con la posizione iniziale del grave e scelto l'asse z verticale rivolto nel verso di caduta del grave si ha il seguente problema di Cauchy:

$m\ddot{\mathbf{x}} = m\mathbf{g}-k|\dot{\mathbf{x}}|\dot{\mathbf{x}},\qquad \mathbf{x}(0)=\mathbf{0},\qquad \dot{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{0},$

dove:

• m è la massa del grave,
• g è l'accelerazione di gravità,
• k è il coefficiente di resistenza idraulica,

Il problema consiste nel trovare la soluzione

$\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix} x(t) & y(t) & z(t) \\ \end{bmatrix}^T \in \R^3.$

Dobbiamo dunque risolvere il sistema di tre equazioni differenziali:

$m\ddot{x} = -k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{x}},\qquad x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=0,$

$m\ddot{y} = -k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{y}},\qquad y(0)=0,\qquad \dot{y}(0)=0,$

$m\ddot{z} = mg-k\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\cdot{\dot{z}},\qquad z(0)=0,\qquad \dot{z}(0)=0,$

Dalle prime due equazioni notiamo che le funzioni x(t)=0, y(t)=0 sono soluzione del problema di Cauchy, in virtù del teorema di esistenza ed unicità esse sono uniche. La terza equazione, date le soluzioni trovate, diventa

$\ddot{z} = g-\frac{k}{m}\dot{z}^{2},\qquad z(0)=0,\qquad \dot{z}(0)=0,$

Si tratta di un'equazione differenziale a variabili separabili, ponendo :$q=\dot{z}$ ne calcoliamo la soluzione come segue:

$\int_0^\dot{z} \frac{dq}{g-\frac{k}{m}q^{2}} = \int_0^t dt=t,$

Al fine di risolvere il primo integrale notiamo una certa somiglianza fra l'argomento dell'integrale e la derivata dell'arcotangente iperbolica:

$\int \frac {d\alpha} {1 - \alpha^2} = \operatorname{arctanh}(x) + c$

Cerchiamo dunque di ricondurre l'argomento dell'integrale a questa forma. A tal scopo raccogliamo la seguente quantità costante ottenendo:

$\frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}} \int_0^\dot{z} \frac{\sqrt{\frac{k}{mg}}}{1-\frac{k}{mg}q^{2}} dq =t,$

Per la linearità della derivata possiamo scrivere:

$\frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}} \int_0^\dot{z} \frac{1}{1-\frac{k}{mg}q^{2}} d(\sqrt{\frac{k}{mg}}q) =t,$

È facile accorgersi che è proprio la forma cercata considerando :$\alpha=\sqrt{\frac{k}{mg}}q$. Possiamo dunque calcolare l'integrale:

$\sqrt{\frac{m}{kg}}\operatorname{arctanh}(\sqrt{\frac{k}{mg}}\dot{z})=t,$

Dalla quale si può ricavare la velocità lungo l'asse rivolto verso il verso di caduta del grave:

$\dot{z}=\sqrt{\frac{mg}{k}}\operatorname{tanh}(\sqrt{\frac{kg}{m}}t)$

Abbiamo finalmente trovato tutte le componenti della velocità del grave. Quindi la velocità assunta da un corpo che cade da fermo in un mezzo idraulico è:

$\mathbf{\dot{x}}= \begin{bmatrix} \dot{x}(t) & \dot{y}(t) & \dot{z}(t) \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \sqrt{\frac{mg}{k}}\operatorname{tanh}(\sqrt{\frac{kg}{m}}t) \\ \end{bmatrix}^T$

Ci chiediamo se in modulo essa raggiunge un valore limite:

$\lim_{t \to \infty}|\mathbf{\dot{x}}|=\sqrt{\frac{mg}{k}}=V_l$

Questa relazione mostra che effettivamente la velocità tende a stabilizzarsi verso un valore limite :V_l che dipende dal coefficiente di resistenza idraulica caratteristico del fluido in cui è immerso il grave, dalla sua massa e dalla accelerazione di gravità. In particolare la velocità limite si può stimare considerando :$\quad k=\frac{\rho A C_d}{2}$:

$V_l= \sqrt{\frac{2 m g}{\rho A C_d }}$

in cui:

• C_d è il coefficiente di resistenza aerodinamica,
• ρ è la densità del fluido attraverso il quale l'oggetto si muove,
• A è la sezione dell'oggetto ortogonale alla direzione del moto.

Esempi

• Un chicco di grandine di medie dimensioni ha una velocità limite dell'ordine dei 50 m/s,
• Una goccia d'acqua di 5 mm di diametro ha una velocità limite di circa 9 m/s, gocce più piccole hanno velocità inferiori mentre gocce più grandi è molto difficile che restino unite, dividendosi in gocce più piccole,
• un paracadutista con paracadute aperto ha una velocità limite di 3-7 m/s,
• un proiettile di piccolo calibro sparato verticalmente, se ricade di punta, ha una velocità limite di circa 100 m/s.

Non è invece possibile individuare una velocità limite di un corpo disomogeneo, in quanto subendo delle rotazioni durante la caduta libera modifica continuamente la propria velocità (semmai, facendo alcune semplificazioni, si può calcolare una velocità limite "media"). Se inoltre il corpo non è rigido ma deformabile, la situazione si complica maggiormente (ad esempio un fazzoletto in caduta libera nell'aria subisce repentini cambiamenti di forma e velocità).

Collegamenti esterni

• http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/termv.html

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