Varietà proiettiva

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Una varietà proiettiva X è l'insieme dei punti di uno spazio proiettivo n-dimensionale \mathbb{P}_{\mathbb K}^n (dove \mathbb{K} è un campo) che annullano simultaneamente una data famiglia di polinomi omogenei \{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} di \mathbb{K}[x_0,\dots,x_n], ovvero

X:=\{x\in\mathbb{P}^n\mid F_\lambda(x)=0,\ \forall \lambda\in\Lambda\}.

Sebbene tale assunzione non sia universalmente accettata[1], nella letteratura matematica recente[2] si suppone, nella definizione di varietà proiettiva, che essa sia irriducibile nella topologia di Zariski. Senza tale richiesta si parla invece di insieme algebrico (proiettivo).

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • È immediato verificare che la varietà proiettiva X può essere definita equivalentemente come insieme dei punti che annullano tutti i polinomi dell'ideale omogeneo \mathcal{I}:=(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} generato dalla famiglia \{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}.


Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) "Algebraic Geometry. A First Course", Joe Harris, Graduate Texts in Mathematics vol. 133, Springer, 1992, Berlin.
  2. ^ (EN) "Algebraic Geometry", Robin Harshorne, Graduate Texts in Mathematics vol. 52, Springer, 1997, Berlin.


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