Utente:AlvaPerez/Alcuni lavori algebrici di Évariste Galois

Introduzione

Grandi nuove scoperte che virtualmente trasformarono la teoria delle equazioni algebriche sono state svolte dal giovane francese. Egli si interessò in matematica e, per un bel po’ di tempo, lesse i lavori di Legendre, Lagrange e Gauss.

La più importante tra le note e articoli di Évariste Galois pubblicati durante il suo periodo di vita è il memorabile articolo “Sulla teoria dei numeri”. In essa, Galois considerò le congruenze polinomiali della forma

$F(x)\equiv 0{\pmod {p}}\,$

senza radici intere. Galois considerò una costruzione che essenzialmente è un’aggiunta al campo di una radice di un’equazione irriducibile e provò alcuni teoremi sui campi finiti. Si analizzino alcuni contenuti dell’articolo di Galois “Memorie sulle condizioni di risolvibilità di equazioni per mezzo di radicali.” Si vedrà che le proprietà di un’equazione possono variare molto in dipendenza dalle quantità a cui essa è collegata.

Nella memoria originale di Galois il gruppo di Galois è definito come un gruppo di sostituzioni sulle radici. Ecco un breve cenno della presentazione originale.

Un lemma preliminare

Consideriamo un'equazione $f(x)=0$ priva di radici multiple avente i coefficienti in un campo $K$ di caratteristica 0. Siano $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ le radici dell'equazione ed indichiamo con $P$ l'insieme delle permutazioni di tali radici. E' possibile determinare una funzione razionale iniettiva

$V:P\to K$

In particolare si possono scegliere $n$ elementi del campo $K$, $a_{1},...,a_{n}$ tali che la funzione $V(x_{i_{1}},...,x_{i_{n}})=a_{1}x_{i_{1}}+...+a_{n}x_{i_{n}}$ sia iniettiva.

La dimostrazione, svolta da Dedekind, è seguita dal seguente richiamo: "Questa proposizione implica che ogni equazione dipende da un’altra equazione ausiliaria di cui tutte le radici sono funzioni razionali di tutte le altre." La funzione $V$ sopra indicata viene chiamata risolvente di Galois.

Osservazione

Si scelga come valore di $V$ quello corrispondente alla permutazione identica e lo si indichi con $V_{1_{p}}=V(x_{1},...,x_{n})$ e sia $g(V)$ il suo polinomio minimo. Allora tutte le radici di $g(V)$ hanno la forma $V(x_{i_{1}},..,x_{i_{n}})$.

Dimostrazione

Indichiamo con $V_{\sigma }$ , $V_{\tau }$ ,... i valori che assume $V_{1}$ quando applichiamo a $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ tutte le permutazioni $\sigma ,\tau ,$... e consideriamo

$h(V)=(V-V_{1})(V-V_{\sigma })(V-V_{\tau })...$

Il polinomio $h(V)$ ha i coefficienti in $K$ ed ha la radice $V_{1}$. Dalle proprietà del polinomio minimo segue che $g(V)|h(V)$.

Teorema della decomposizione di $f(x)$

Sia $V:P\to K$ una funzione iniettiva e sia $V_{1_{p}}$ definito come nell'osservazione. Allora tutte le radici di $f(x)=0$ sono funzioni razionali di $V_{1_{p}}$.

Dimostrazione

Introduciamo una variabile $t$ e consideriamo il polinomio

$p(t)=\prod _{i\in I}[t-V(x_{1},\sigma _{i}(x_{2}),...,\sigma _{i}(x_{n}))]$

dove $\{\sigma _{i}(x_{j})\}_{i\in I},j=2,...,n$ è l'insieme di tutte le permutazioni che fissano una radice, ad esempio $x_{1}$. Questo polinomio ha per coefficienti funzioni simmetriche delle altre radici $x_{2},...,x_{n}$. Se indichiamo con $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ le funzioni simmetriche delle radici $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ e con $v_{1},v_{2},...,v_{n-1}$ le funzioni simmetriche delle sole radici $x_{2},...,x_{n},$ possiamo utilizzare le relazioni

$v_{1}=u_{1}-x_{1},v_{2}=u_{2}-u_{1}x_{1}+x_{1}^{2},...$

per riscrivere $p(t)$ nelle due variabili $t,x_{1}$. Indichiamo questo polinomio con $p(t,x_{1})$. Abbiamo che vale identicamente $p(V_{1},x_{1})=0,$ da cui possiamo dedurre che l'equazione $p(V_{1},x)=0$ ha la radice $x_{1}$.

Poiché vale anche $f(x_{1})=0$, le due equazioni $p(V_{1},x)=0$ e $f(x)=0$ hanno in comune almeno la radice $x_{1}$. Se $d(x)$ è il massimo comun divisore di questi due polinomi, abbiamo $d(x_{1})=0$. Per la definizione di massimo comun divisore, gli eventuali altri valori per i quali si annulla vanno ricercati tra $x_{2},x_{3},...,x_{n},$ ossia tra i valori che annullano $f(x)$. Ma se, ad esempio, $d(x_{2})=0,$ necessariamente anche $p(V_{1},x_{2})=0$. Basta riflettere sul modo con il quale è costruito $p(t,x_{1})$ per comprendere che $p(t,x_{2})$ si ottiene sostituendo $x_{1}$ con $x_{2}$ in $p(t,x_{1})$.

Se fosse $p(V_{1},x_{2})=0$, $V_{1}$ dovrebbe coincidere con uno dei valori $V(x_{2},x_{i_{2}},...)$ e dunque la funzione $V$ non sarebbe iniettiva sulle permutazioni. Se $d(x)$ ha la sola radice $x_{1}$ si tratta dunque, con il metodo delle divisioni successive, di determinare un polinomio di primo grado nella variabile $x$ a partire da $f(x)$ e da $p(V_{1},x)$. Eguagliando a 0 il risultato, si ottiene $x_{1}$ nei termini di $V_{1}$. In modo analogo si procede per esprimere le altre radici.

L’importanza del lavoro di Galois consiste nel fatto che egli rivelò profondamente regolarità nuove e profonde sulla teoria delle equazioni. Dopo le sue scoperte, le strutture e gli obiettivi dell’algebra cambiarono radicalmente. La teoria delle equazioni venne rimpiazzata dalla teoria dei campi, teoria dei gruppi e dalla teoria di Galois. Inoltre, realizzò diversi risultati sulle estensioni algebriche di campi. Si può osservare che quindi Galois ha cercato di unire la ricerca delle radici di un polinomio all’estensione di un campo, associando ad ogni polinomio un campo di spezzamento.

Bibliografia

Andrej Nikolaevič Kolmogorov, A.P. Yushkevich, "Mathematics of the 19th Century"

Irving Kaplansky, "Fields and Rings"

Évariste Galois, "Écrits et mémoires mathématiques d'Évariste Galois"