Ternario bilanciato

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(EN)

« Perhaps the prettiest number system of all is the balanced ternary notation »

(IT)

« Forse il sistema numerico più grazioso di tutti è la notazione ternaria bilanciata »

(Donald E. Knuth)

Il ternario bilanciato è un sistema numerico posizionale non standard. È un sistema in base 3, che, a differenza del sistema ternario standard, usa come cifre -1, 0 e 1 anziché 0, 1 e 2. Le potenze di 3 usate per rappresentare il numero possono avere quindi coefficiente positivo, nullo o negativo.

La seguente tabella elenca i primi 12 numeri scritti nel sistema decimale, ternario e ternario bilanciato (viene usato il simbolo 1 per rappresentare la cifra -1).

Decimale Ternario Ternario bilanciato
1 1 1
2 2 1\bar{1}
3 10 10
4 11 11
5 12 1\bar{1}\bar{1}
6 20 1\bar{1}0
7 21 1\bar{1}1
8 22 10\bar{1}
9 100 100
10 101 101
11 102 11\bar{1}
12 110 110

Il sistema ternario bilanciato non ha bisogno di un segno meno per rappresentare i numeri negativi. Per cambiare il segno di un numero basta cambiare il segno delle sue cifre.

1\bar{1}1\bar{1}=20
\bar{1}1\bar{1}1=-20

Aritmetica[modifica | modifica wikitesto]

Addizione[modifica | modifica wikitesto]

La tavola di addizione è molto semplice, tenendo solo conto che si può avere un riporto negativo

\begin{array}{cc}
1 & +\\
0 & =\\
\hline
1 & \\
\end{array}\ \begin{array}{cc}
1 & +\\
1 & =\\
\hline
1\bar{1} & \\
\end{array}\ \begin{array}{cc}
1 & +\\
\bar{1} & =\\
\hline
0 & \\
\end{array}\ \begin{array}{cc}
\bar{1} & +\\
\bar{1} & =\\
\hline
\bar{1}1 & \\
\end{array}

Sottrazione[modifica | modifica wikitesto]

La sottrazione si effettua invertendo le cifre del numero da sottrarre e sommando.

Moltiplicazione[modifica | modifica wikitesto]

Anche la moltiplicazione si effettua in modo piuttosto semplice, riducendosi a una serie di cambi di segno e addizioni, come nel seguente esempio, nel quale viene eseguita l'operazione 23 × 17 = 391:

\begin{align}
&10\bar{1}\bar{1}\ \times\\
&1\bar{1}0\bar{1}\ =\\
\hline
&\bar{1}011\\
\bar{1}0&11\\
10\bar{1}&\bar{1}\\
\hline
1\bar{1}\bar{1}&\bar{1}111
\end{align}
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