Sistema numerico ternario

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Il sistema numerico ternario è un sistema numerico posizionale in base 3, cioè che utilizza 3 simboli, tipicamente 0 e 1 e 2, invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale. Di conseguenza, la cifra in posizione n (da destra) si considera moltiplicata per 3^{(n-1)} anziché per 10^{(n-1)} come avviene nella numerazione decimale[1]. Solitamente le tre cifre sono numeri positivi, ma il termine può anche riferirsi al sistema ternario bilanciato, usato soprattutto nei calcolatori ternari, le cui cifre sono -1, 0 ed 1.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un numero è rappresentato in base 3 da una combinazione di cifre 0, 1 e 2, ordinate secondo un sistema posizionale basato sulle potenze di 3. Dato che si può generare confusione con altre basi, si può specificare che si tratta di un numero ternario aggiungendo un pedice 3 alla fine del numero. Per esempio, 
120_3 = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 15_{10}

Comparazione con altre basi[modifica | modifica wikitesto]

La rappresentazione di un numero intero in base 3 richiede meno cifre della corrispondente in base 2. Per esempio, il numero decimale 220 si scrive in base 2 11011100 (8 cifre), mentre in base 3 è scritto come 22011 (5 cifre). Tuttavia, un numero scritto in base 3 è più lungo che in base 10; per questo in informatica i numeri ternari vengono talvolta codificati in base 9 o in base 27, allo stesso modo con cui i numeri binari vengono compattificati in base 8 o in base 16.

Numeri da 1 a 27 in rappresentazione ternaria, binaria e decimale
Ternario 1 2 10 11 12 20 21 22 100
Binario 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
Decimale 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ternario 101 102 110 111 112 120 121 122 200
Binario 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010
Decimale 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Ternario 201 202 210 211 212 220 221 222 1000
Binario 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011
Decimale 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Potenze di 3 in rappresentazione ternaria, binaria e decimale
Ternario 1 10 100 1 000 10 000
Binario 1 11 1001 1 1011 101 0001
Decimale 1 3 9 27 81
Potenza 30 31 32 33 34
Ternario 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000
Binario 1111 0011 10 1101 1001 1000 1000 1011 1 1001 1010 0001 100 1100 1110 0011
Decimale 243 729 2 187 6 561 19 683
Potenza 35 36 37 38 39

Per quanto riguarda i numeri razionali, il sistema ternario è comodo per rappresentare le frazioni che hanno al denominatore delle potenze di 3, che in notazione decimale vengono rappresentate da numeri periodici. Tuttavia, non avendo la base altri fattori primi oltre a 3, tutti gli altri razionali non interi divengono periodici. Ad esempio, ecco alcune frazioni con le rispettive rappresentazioni in bese 2, 3 e 10:

Numeri razionali in ternario, binario e decimale
Ternario 0.111111111111... 0.1 0.020202020202... 0.012101210121... 0.011111111111... 0.010212010212...
Binario 0.1 0.010101010101... 0.01 0.001100110011... 0.00101010101... 0.001001001001...
Decimale 0.5 0.333333333333... 0.25 0.2 0.166666666666... 0.142857142857...
Frazione 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
Ternario 0.010101010101... 0.01 0.002200220022... 0.002110021100... 0.002020202020... 0.002002002002...
Binario 0.001 0.000111000111... 0.000110011001... 0.000101110100... 0.000101010101... 0.000100111011...
Decimale 0.125 0.111111111111... 0.1 0.090909090909... 0.083333333333... 0.076923076923...
Frazione 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Informatica[modifica | modifica wikitesto]

I calcolatori ternari fondano il loro funzionamento sulla base 3. Analogamente ai bit, le loro unità di informazione sono i trit, che possono assumere tre valori distinti. Ogni trit contiene l'equivalente di \log_2 3 (circa 1,58496) bit d'informazione. Alcuni computer ternari, come il Setun, definivano il tryte come un gruppo di 6 trit, in parallelo coi byte che sono composti da 8 bit[2].

Trasferimento Dati[modifica | modifica wikitesto]

Ove un canale di comunicazione consente di usare agevolmente tre stati invece di due, è possibile inviare una mole di dati numerici di molto maggiore rispetto all'utilizzo di due simboli. Se ad esempio si usano lampi di luce colorata per trasmettere un "1" o uno "0" binario a seconda del colore rosso o verde, con 8 lampi (un byte) si hanno a disposizione 256 diverse configurazioni. Ma se si aggiunge il colore azzurro (ad esempio) al quale assegnare il valore "2", allora con gli stessi otto lampi si possono trasmettere ben 6561 diverse configurazioni, che con una luce a due colori necessiterebbero di 13 lampi (bits). Quindi se è possibile utilizzare tre stati ben distinguibili in luogo di due, la numerazione in base tre amplifica fortemente la quantità di informazione trasferibile nella stessa unità di tempo.

Altri usi[modifica | modifica wikitesto]

La base 3 è utile per lavorare più facilmente con alcune strutture autosomiglianti come il triangolo di Sierpinski e l'insieme di Cantor. Quest'ultimo può essere definito come l'insieme di numeri reali compresi tra 0 ed 1 che non hanno nessuna cifra 1 nella loro rappresentazione ternaria.[3][4] È a volte utilizzato nel baseball, dove ogni inning è diviso in tre out. È inoltre usato nell'islam per declamare i 99 nomi di Allah col Tabish.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Brian Hayes, Third base in American Scientist, vol. 89, nº 6, 2001, pp. 490–494..
  2. ^ (EN) Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A.. "Development of ternary computers at Moscow State University"
  3. ^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
  4. ^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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