Teorema di Descartes

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In geometria il teorema di Descartes è una formula che esprime la relazione tra quattro circonferenze mutuamente tangenti (circonferenze che si baciano). Il teorema, dimostrato da René Descartes (Cartesio) nel 1643, può essere usato per costruire una quarta circonferenza tangente, date altre tre.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Problemi geometrici relativi a circonferenze tangenti furono studiati fin dall'antica Grecia; Apollonio di Perga, nel III secolo a.C. dedicò all'argomento un intero libro (Sulle tangenze), andato perso nel tempo.

Fu Cartesio nel 1643 a riprendere l'argomento e a fornire una dimostrazione in una lettera alla principessa Elisabetta de Hervorden (figlia di Elisabetta di Boemia). In seguito Frederick Soddy ripropose una sua versione del teorema in versi, nella poesia The Kiss Precise, pubblicata il 20 giugno 1936 sul periodico Nature; da qui nacque anche l'usanza di chiamare circonferenze di Soddy le quattro circonferenze tangenti coinvolte nel teorema. Soddy fornì anche una dimostrazione del teorema estesa al caso di sfere tangenti.

Enunciato del teorema[modifica | modifica sorgente]

Dati tre cerchi mutuamente tangenti (in nero), il teorema di Descartes permette di trovare un quarto cerchio tangente; esistono due soluzioni possibili una interna (in rosso) e una esterna (in verde).

Date quattro circonferenze mutuamente tangenti (non più di due tangenti internamente) di raggio r_j (j = 1,2,3,4), vale la seguente relazione:

(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2),

dove k_i = \frac{1}{r_i} è la curvatura della i-esima circonferenza. Il teorema può quindi essere scritto anche utilizzando i raggi delle circonferenze:


\left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_4} \right)^2 = 2 \left( \frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r_4^2} \right).

Date tre circonferenze tangenti, il raggio della quarta circonferenza può essere trovato come:

k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1}.

Il segno ± indica che in generale esistono due possibili circonferenze, una esterna e l'altra interna alle tre iniziali.

Casi particolari[modifica | modifica sorgente]

Il teorema può essere esteso al caso in cui una delle circonferenze degenera in una retta; in questo caso una delle tre curvature è nulla; ad esempio, ponendo k_3 = 0 si ricava

k_4 = k_1 + k_2 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2}.

Il teorema non è applicabile al caso in cui due o tre circonferenze degenerano in rette.

Teorema di Descartes complesso[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Descartes classico fornisce i raggi delle circonferenze tangenti; queste vengono determinate completamente una volta noti i centri delle stesse; se le coordinate dei centri sono date da C_j(x_j, y_j) sul piano complesso i centri corrispondono ai numeri z_j = x_j + i y_j.

Si può allora dimostrare che vale la relazione

(k_1 z_1 + k_2 z_2 + k_3 z_3 + k_4 z_4)^2 = 2 (k_1^2 z_1^2 + k_2^2 z_2^2 + k_3^2 z_3^2 + k_4^2 z_4^2),

che è detta teorema di Descartes complesso.

Date tre circonferenze, si può applicare il teorema classico per trovare la curvatura della quarta circonferenza, e il teorema complesso per determinarne il centro.

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