Sigma additività

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In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

Definizioni

Sia ${\mathcal {A}}$ un'algebra di insiemi. Una funzione $\mu \colon {\mathcal {A}}\to [-\infty ,\infty ]$ (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, $\forall \,A,B\in {\mathcal {A}}$ disgiunti si ha:

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione $A_{1},A_{2},\dots {},A_{n},\dots {}\in {\mathcal {A}}$ tra loro disgiunti e tali che la loro unione numerabile stia ancora in ${\mathcal {A}}$ si ha:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

Ogni funzione σ-additiva è una funzione (finitamente) additiva, ma non vale il contrario.

Proprietà

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può assumere sia $-\infty$ che $+\infty$ come valori, perché l'espressione $\infty -\infty$ è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})$

per ogni collezione finita $A_{1},A_{2},\dots {},A_{n}$ di insiemi disgiunti in ${\mathcal {A}}$.

Utili proprietà di una funzione additiva $\mu$ sono:

• $\mu (\emptyset )=0$.
• Se $\mu$ è non negativa (cioè $\forall \,E\in {\mathcal {A}}\;\;\mu (E)\geq 0$) e $A\subset B$, allora $\mu (A)\leq \mu (B)$.
• Se $A\subset B$ allora $\mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)$.
• Dati $A$ e $B$, $\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)$.

Esempi

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione $\mu$ definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

$\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}0\in A\\0&{\mbox{ se }}0\notin A\end{cases}}$

Bibliografia

• (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
• (EN) N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)

Voci correlate

• Algebra di insiemi
• Funzione additiva
• Funzione subadditiva
• Misura (matematica)
• Sigma-algebra

Collegamenti esterni

• (EN) V.V. Sazonov, Algebra of sets, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) σ-algebra, in PlanetMath.