Q di Yule

La variabile di test Q di Yule è un indice di associazione, ideato dallo statistico scozzese George Udny Yule, e usato in tabelle statistiche dette di contingenza $2\times 2$.

Un indicatore ideato dallo stesso autore è la Y di Yule. Rispetto quest'ultima il valore assoluto è sempre maggiore ($|Q|>|Y|$) a meno che non vi sia indipendenza o completa associazione.

Storia

L'indice venne presentato da Yule nell'articolo On the association of attributes in statistics e fu al centro di una controversia con il matematico e statistico inglese Karl Pearson. La posizione di Pearson era che alla base di una tabella di contingenza vi fosse un fenomeno continuo e gaussiano, invece che un fenomeno discreto come sostenuto da Yule, che considerava poco scientifico fare ipotesi non desiderate e non verificabili.

Pearson, inoltre, notava che "collassando" una tabella $N\times N$, riducendola a 2x2, si ottengono risultati differenti a seconda di come vengono aggregati i valori.
Questa osservazione rimane tuttora valida.

Metodologia

$Q=(\alpha -1)/(\alpha +1)$

ove

$\alpha =(P_{11}/P_{21})/(P_{12}/P_{22})$ è il cosiddetto odds ratio

$P_{ij}=P(A_{i}B_{j})$ ove sia $i$ che $j$ assumono i valori 1 e 2

Tale indice $Q$ varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.

$Q$ può essere stimato da

$q=(a-1)/(a+1)$

dove in questo caso

$a=(f_{11}/f_{21})/(f_{12}/f_{22})$ in analogia a $\alpha$ (con il vincolo che $f_{ij}$ sia sempre maggiore di zero

mentre la varianza di $q$ viene stimata con

$s^{2}(q)=1/4(1-q)^{2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}1/f_{ij}$

Esempio

 Valori assoluti
 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       |  20   |  80  |
 |Donne        |  90   |  80  |
 +-------------+-------+------+

 Valori relativi (f)
 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       | 0,074 | 0,296|
 |Donne        | 0,333 | 0,296|
 +-------------+-------+------+

$a=(0,074/0,333)/(0,296/0,296)=0,222$

$q=(0,222-1)/(0,222+1)=-0,636$

Valori di q differenti

Collassando una tabella $N\times N$ a una $2\times 2$, a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di $q$ differenti. (cf. osservazione di Karl Pearson)

Se per esempio i dati di partenza fossero stati

 
 +-------------+-------+------+------+
 |     \ Abile |   Si  | boh! |  No  |
 |Sesso \      |       |      |      |
 +-------------+-------+------+------+
 |Uomini       |  20   |  10  |  70  |
 |Donne        |  90   |   0  |  80  |
 +-------------+-------+------+------+

assegnando il "Boh!" ai "No" si ottiene la tabella e il $q=-0,636$ di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:

 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       |  30   |  70  |
 |Donne        |  90   |  80  |
 +-------------+-------+------+

con l'indicatore $q$ che si attenua diventando $q=-0,448$