Tabella di contingenza

Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in statistica per rappresentare e analizzare le relazioni tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle variabili.

Il caso più semplice è quello delle tabelle tetracoriche, in cui ciascuna delle due variabili assume solo due possibili valori, ad esempio:

Colore degli occhi\Colore dei Capelli	$Biondi$	$Non Biondi$	$Totale$
$Chiari$	21	19	40
$Non Chiari$	9	51	60
$Totale$	30	70	100

Dove, tra le 100 persone esaminate, 30 presentano capelli biondi, 40 occhi chiari e soltanto 21 hanno capelli biondi e occhi chiari. Da questi dati è possibile ricavare i dati restanti della tabella. Utilizzando le tabelle di contingenza e operando specifici calcoli su di esse, si può arrivare a determinare la dipendenza o indipendenza tra le due variabili considerate, in base al valore assunto dall’indice di contingenza quadratico $X^2$ .

Le due variabili considerate sono di tipo quantitativo discreto o qualitativo. Indicando tali variabili con X e Y e rispettivamente con $x_i$ (i = 1,2,…,h) e $y_j$ (j=1,2,…,k) le modalità rilevate per le due variabili, ad ogni coppia ( $x_i$ , $y_j$ ) si fa corrispondere nella tabella la sua frequenza associata $n_{i,j}$ , cioè il numero di elementi, tra gli n della popolazione, che possiedono contemporaneamente la modalità di $x_i$ di X e $y_j$ di Y.

X\Y	$y_1$	$y_2$	$...$	$y_j$	$...$	$y_k$	$Totale$
$x_1$	$n_{1,1}$	$n_{1,2}$	$...$	$n_{1,j}$	$...$	$n_{1,k}$	$n_{1,.}$
$x_2$	$n_{2,1}$	$n_{2,2}$	$...$	$n_{2,j}$	$...$	$n_{2,k}$	$n_{2,.}$
$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$x_i$	$n_{i,1}$	$n_{i,2}$	$...$	$n_{i,j}$	$...$	$n_{i,k}$	$n_{i,.}$
$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$x_h$	$n_{h,1}$	$n_{h,2}$	$...$	$n_{h,j}$	$...$	$n_{h,k}$	$n_{h,.}$
$Totale$	$n_{.,1}$	$n_{.,2}$	$...$	$n_{.,j}$	$...$	$n_{.,k}$	$n$

dove

$n_{i,.} = \sum_{j=1}^k n_{i,j}$ (i = 1,2,…,h) rappresenta le frequenze marginali assolute di X
$n_{.,j} = \sum_{i=1}^h n_{i,j}$ (j = 1,2,…,k) rappresenta le frequenze marginali assolute di Y

Ovviamente, sommando tutte le frequenze assolute presenti nella tabella, troveremo la numerosità n della popolazione:

$\sum_{i=1}^h \sum_{j=1}^k n_{i,j} = \sum_{i=1}^h n_{i,.} = \sum_{j=1}^k n_{.,j} = n$

Dalle frequenze assolute $n_{i,j}$ si ottengono le frequenze relative $f_{i,j}$ calcolando:

$f_{i,j} = \left(\frac{n_{i,j}}{n}\right)$

X\Y	$y_1$	$y_2$	$...$	$y_j$	$...$	$y_k$	$Totale$
$x_1$	$f_{1,1}$	$f_{1,2}$	$...$	$f_{1,j}$	$...$	$f_{1,k}$	$f_{1,.}$
$x_2$	$f_{2,1}$	$f_{2,2}$	$...$	$f_{2,j}$	$...$	$f_{2,k}$	$f_{2,.}$
$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$x_i$	$f_{i,1}$	$f_{i,2}$	$...$	$f_{i,j}$	$...$	$f_{i,k}$	$f_{i,.}$
$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
$x_h$	$f_{h,1}$	$f_{h,2}$	$...$	$f_{h,j}$	$...$	$f_{h,k}$	$f_{h,.}$
$Totale$	$f_{.,1}$	$f_{.,2}$	$...$	$f_{.,j}$	$...$	$f_{.,k}$	$1$