Modello lineare autoregressivo

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In statistica e in teoria dei segnali un modello lineare autoregressivo indicato con AR, o AR(p) dove p è l'ordine del modello, è la rappresentazione di un tipo di processo stocastico; come tale descrive alcuni processi che variano nel tempo come l'economia, ecc. Il modello autoregressivo specifica che la variabile in uscita dipende linearmente dai valori delle uscite precedenti. Si tratta di un caso particolare del modello ARMA più generale delle serie storiche.

Matematicamente si presenta così:

z_t =  {\phi_1}  z_{t-1} +  {\phi_2} z_{t-2} +...+  {\phi_p} z_{t-p} +  {\alpha_t}

dove i parametri  \,  {\phi_1} ,  {\phi_2} , ..,  {\phi_p} \, costituiscono i coefficienti della regressione lineare della variabile casuale z_t rispetto ai suoi stessi valori passati,  {\alpha_t} è il processo di rumore bianco per cui il termine di errore.

In generale, lavorando con processi AR(p), risulta conveniente utilizzare l’operatore backshift B, denominato anche lag operator, che semplifica notevolmente determinate relazioni. Tale operatore si definisce come segue:

BX_t = X_{t-1}

In generale si ha:

B^{m}X_t = X_{t-m}

Se si considera una costante, ad esempio, la media  \,  {\mu} si ha:

B^{m}{\mu} = {\mu}

Considerando tale impostazione si ha che il processo autoregressivo di ordine 1, AR(1) diviene:

 (1 - {\phi}B)X_t = {\alpha_t}

Si ha allora:

X_t = (1 - {\phi}B)^{-1}{\alpha_t} = (1 + {\phi}B + {\phi}^{2}B^{2} + ....) {\alpha_t} = {\alpha_t} + {\phi}{\alpha_{t-1}} + {\phi^{2}}{\alpha_{t-2}} +.....

questa serie, si dimostra facilmente, converge per {\phi} minore di 1 che costituisce la condizione di stazionarietà. Il processo AR(1) ha quindi funzione di autocorrelazione {\rho}_k = {\phi^{k}} \, la quale tende a zero in modo monotono per  {\phi} > 0 \, e varia tra -1 ed 1 per  {\phi} < 0 \,

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Modello AR(1) - Dati relativi alla concentrazione di una soluzione chimica, George Box e Gwilym Jenkins (1976)

17.0 16.6 16.3 16.1 17.1 16.9 16.8 17.4 17.1 17.0 16.7 17.4 17.2 17.4
17.4 17.0 17.3 17.2 17.4 16.8 17.1 17.4 17.4 17.5 17.4 17.6 17.4 17.3
17.0 17.8 17.5 18.1 17.5 17.4 17.4 17.1 17.6 17.7 17.4 17.8 17.6 17.5
16.5 17.8 17.3 17.3 17.1 17.4 16.9 17.3 17.6 16.9 16.7 16.8 16.8 17.2
16.8 17.6 17.2 16.6 17.1 16.9 16.6 18.0 17.2 17.3 17.0 16.9 17.3 16.8
17.3 17.4 17.7 16.8 16.9 17.0 16.9 17.0 16.6 16.7 16.8 16.7 16.4 16.5
16.4 16.6 16.5 16.7 16.4 16.4 16.2 16.4 16.3 16.4 17.0 16.9 17.1 17.1
16.7 16.9 16.5 17.2 16.4 17.0 17.0 16.7 16.2 16.6 16.9 16.5 16.6 16.6
17.0 17.1 17.1 16.7 16.8 16.3 16.6 16.8 16.9 17.1 16.8 17.0 17.2 17.3
17.2 17.3 17.2 17.2 17.5 16.9 16.9 16.9 17.0 16.5 16.7 16.8 16.7 16.7
16.6 16.5 17.0 16.7 16.7 16.9 17.4 17.1 17.0 16.8 17.2 17.2 17.4 17.2
16.9 16.8 17.0 17.4 17.2 17.2 17.1 17.1 17.1 17.4 17.2 16.9 16.9 17.0
16.7 16.9 17.3 17.8 17.8 17.6 17.5 17.0 16.9 17.1 17.2 17.4 17.5 17.9
17.0 17.0 17.0 17.2 17.3 17.4 17.4 17.0 18.0 18.2 17.6 17.8 17.7 17.2
17.4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G.E.P. Box e G.M. Jenkins, Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco, Holden-Day, 1970
  • S. Makridakis, S.C. Wheelwright e R.J. Hyndman, Forecasting: methodsand applications, New York, John Wiley & Sons, 1998
  • A. Pankratz, Forecasting with univariate Box–Jenkins models: concepts and cases, New York, John Wiley & Sons, 1983
  • Domenico Piccolo, Introduzione all'analisi delle serie storiche, Carocci, 1990.
  • E Bee Dagum, Analisi delle serie storiche: modellistica, previsione e scomposizione, Springer, 2002.
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