Equazioni di Yule-Walker

In statistica per un modello AR (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

• $R_{yy}=-{\sum_{k=1}^N a_k R_{yy} (n-k) + R_{yx} (n) }$

• $R_{yx} (n) = \left\{\begin{matrix}0 \,\,\, per \,\,\, n > 0 \\ {\sigma_n^2} \,\,\, per \,\,\, n = 0 \, \end{matrix} \right.$

In particolare, la matrice $R$ dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o Hermitiana, per sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale o subdiagonale sono eguali tra loro. La matrice $R [N \times N]$ è pertanto caratterizzata da $N$ numeri e può dunque essere rappresentata da:

$R = \begin{bmatrix} r_0 & r_{-1} & .. & r_{-N}\\ r_1 & r_0 & .. & r_{-N+1}\\ r_2 & r_1 & .. & r_{-N+2}\\ .. & .. & .. & .. \\ r_N & r_{N-1} & .. & r_0 \\ \end{bmatrix}$

Nota: Per ricavare l'elemento emmesimo $r_m$ si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

Derivazione

Considerando un processo AR:

$z_t = \sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i}+ \alpha_t.$

Moltiplicando entrambi i membri per $z_{t-m}$ e usando l'operatore del valore atteso si ha:

$E[z_t z_{t-m}] = E\left[\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i} z_{t-m}\right]+ E[\alpha_t z_{t-m}].$

Si ha che la funzione di autocorrelazione è: $E[z_t z_{t-m}] = r_m$. I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e $z_{t-m}$ risulta indipendente da ${\alpha_t}$ per m > 0. Se m ≠ 0 $E[\alpha_t z_{t-m}] = 0$. Per m = 0 si ha:

$E[\alpha_t z_{t}] = E\left[\alpha_t (\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i}+ \alpha_t)\right] = \sum_{i=1}^p {\phi_i}\, E[\alpha_t\,z_{t-i}] + E[\alpha_t^2] = 0 + \sigma_\alpha^2,$

Adesso risulta:

$r_m = E\left[\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i} z_{t-m}\right] + \sigma_\alpha^2 \delta_m.$

Poiché:

$E\left[\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i} z_{t-m}\right] = \sum_{i=1}^p {\phi_i}\,E[z_{t} z_{t-m+i}]$ = $\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,r_{m-i},$

La risultante equazione di Yule-Walker:

$r_m = \sum_{i=1}^p {\phi_i} r_{m-i} + \sigma_\alpha^2 \delta_m.$

Voci correlate

• George Udny Yule
• Schema di Yule

Bibliografia

• G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer’s sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.

• Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.

• Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.

• Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T. : School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.

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