Equazioni di Yule-Walker

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In statistica per un modello AR (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

  • R_{yy}=-{\sum_{k=1}^N a_k R_{yy} (n-k) + R_{yx} (n) }
  •  R_{yx} (n) = \left\{\begin{matrix}0 \,\,\, per \,\,\, n > 0 \\
{\sigma_n^2} \,\,\, per  \,\,\, n = 0 \, \end{matrix} \right.

In particolare, la matrice R dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, per sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale o subdiagonale sono eguali tra loro. La matrice  R [N \times N]  è pertanto caratterizzata da  N numeri e può dunque essere rappresentata da:

 R =
  \begin{bmatrix}
    r_0 & r_{-1} & .. & r_{-N}\\
    r_1 & r_0  & .. & r_{-N+1}\\
    r_2 & r_1  & .. & r_{-N+2}\\
    ..  &  ..  & .. & ..    \\
    r_N & r_{N-1} & .. & r_0 \\  
   \end{bmatrix}

Nota: Per ricavare l'elemento emmesimo  r_m si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Considerando un processo AR:

 z_t = \sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i}+ \alpha_t.

Moltiplicando entrambi i membri per  z_{t-m} e usando l'operatore del valore atteso si ha:

E[z_t z_{t-m}] = E\left[\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i} z_{t-m}\right]+ E[\alpha_t z_{t-m}].

Si ha che la funzione di autocorrelazione è: E[z_t z_{t-m}] = r_m . I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e  z_{t-m} risulta indipendente da  {\alpha_t} per m > 0. Se m ≠ 0  E[\alpha_t z_{t-m}] = 0 . Per m = 0 si ha:

E[\alpha_t z_{t}] 
= E\left[\alpha_t (\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i}+ \alpha_t)\right]
= \sum_{i=1}^p {\phi_i}\, E[\alpha_t\,z_{t-i}] + E[\alpha_t^2]
= 0 + \sigma_\alpha^2,

Adesso risulta:

 r_m = E\left[\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i} z_{t-m}\right] + \sigma_\alpha^2 \delta_m.

Poiché:

E\left[\sum_{i=1}^p {\phi_i}\,z_{t-i} z_{t-m}\right]
= \sum_{i=1}^p {\phi_i}\,E[z_{t} z_{t-m+i}] =  \sum_{i=1}^p {\phi_i}\,r_{m-i},

La risultante equazione di Yule-Walker:

 r_m = \sum_{i=1}^p {\phi_i} r_{m-i} + \sigma_\alpha^2 \delta_m.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer’s sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.
  • Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.
  • Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.
  • Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T. : School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.
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