k-spazio

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Il k-spazio è un formalismo matematico introdotto nel 1983 per spiegare in maniera semplice e univoca la formazione dell'immagine nell'imaging a risonanza magnetica.

Il formalismo[modifica | modifica sorgente]

rappresentazione del K-Spazio

Mona Lisa bw square.jpeg

Mona Lisa bw square fft.jpeg

Una immagine come appare nello spazio "reale" (a sinistra), e la stessa immagine come appare nel "k-spazio" (a destra).

Immaginando che a una intensità di bianco della famosa immagine a sinistra corrisponda una densità protonica, l'acquisizione tramite risonanza magnetica produce una serie di segnali che formano la figura a destra (modulo del dominio trasformato secondo Fourier).

Tale formalismo dimostra che il segnale di risonanza magnetica demodulato S(t) generato dagli spin nucleari che si muovono secondo un moto di precessione nella presenza di un campo magnetico che varia linearmente nello spazio (gradiente G), è uguale alla trasformata di Fourier della densità effettiva degli spin \rho_{\mathrm{eff}}\ , cioè

S(t) = {\tilde \rho}_{\mathrm{eff}}( {\vec k}(t) ) \equiv \int d^3x \ \rho( {\vec x} ) \cdot e^{2 \pi \imath \ {\vec k}(t) \cdot {\vec x}  }

dove:

{\vec k}(t) \equiv \int_0^t {\vec G}(t')\ dt'

In altre parole, con il passare del tempo il segnale segue una traiettoria nel k-spazio con un vettore velocità proporzionale al vettore del gradiente di campo magnetico applicato.

Con l'espressione densità di spin effettiva, si intende la densità di spin reale \rho({\vec x}) corretta per gli effetti dei decadimenti T_1 e T_2, della perdita di coerenza di fase dovuta alle inomogeneità del campo, del flusso, della diffusione e di ogni altro fenomeno che modifica la quantità di magnetizzazione trasversa disponibile alla bobina ricevente.

Dalla formula fondamentale vista sopra, segue immediatamente che si può ricostruire un'immagine I({\vec x}) semplicemente prendendo la trasformata di Fourier inversa dei dati acquisiti, cioè:

I({\vec x}) = \int d^3 k \ S( {\vec k}(t) ) \cdot e^{-2 \pi \imath \ {\vec k}(t) \cdot {\vec x}  }

\vec x e \vec k sono variabili coniugate rispetto alla trasformata di Fourier, quindi si può usare il teorema di Nyquist per dimostrare che l'intervallo tra due punti nel k-spazio determina l'estensione dell'area di cui viene fatto l'imaging (Field Of View) ed il valore massimo di k determina la risoluzione spaziale dell'immagine ricostruita:

FOV \propto \frac{1}{\Delta k} \qquad \mathrm{Risoluzione} \propto |k_{\max}|, per ognuna delle tre direzioni spaziali (x, y e z).

Metodi di acquisizione e traiettorie[modifica | modifica sorgente]

Attraverso il formalismo del k-spazio, diversi concetti altrimenti complessi diventano semplici da comprendere. Per esempio, diventa chiaro il ruolo della codifica di fase. In una normale scansione spin echo o gradient echo, dove il gradiente di lettura (o readout) è costante (G_x), una singola linea del k-spazio viene acquisita in una ripetizione della sequenza. Quando il gradiente di codifica di fase è zero, la riga acquisita è l'asse k_x. Quando un impulso di gradiente è aggiunto tra la eccitazione a radiofrequenza e l'inizio del gradiente di lettura, viene acquisita una riga più in alto o più in basso nel k-spazio, cioè si acquisisce una linea con k_y=costante.

Questo formalismo rende inoltre semplice il paragone tra diverse tecniche di scansione. Nell'echo-planar imaging (EPI) a singolo impulso, tutto il k-spazio è scandito in una volta, tramite una traiettoria sinusoidale, a zig-zag o a spirale. Quando le righe del k-spazio sono acquisite alternativamente in direzioni opposte, sono necessari alcuni accorgimenti nell'algoritmo ricostruttivo. Nell'EPI a impulsi multipli, e nelle tecniche di spin echo rapide (turbo spin echo), ad ogni eccitazione viene acquisito parte del k-spazio, e la sequenza viene ripetuta finché lo spazio acquisito non è sufficientemente completo.

Dal momento che i dati al centro del k-spazio rappresentano le frequenze spaziali più basse e quindi il contrasto dell'immagine, l'istante di acquisizione T_E (echo time) determina principalmente la dipendenza del contrasto da T_2.

L'importanza del centro del k-spazio nella determinazione del contrasto finale dell'immagine può essere sfruttata in tecniche di imaging più avanzate. Una di queste tecniche è l'acquisizione a spirale: viene applicato un gradiente la cui direzione ruota nel tempo, il che causa una traiettoria che avanza a spirale dal centro verso la periferia. Per l'effetto dei decadimenti T_2 e T_2*, il segnale è massimo all'inizio dell'acquisizione, di conseguenza questo tipo di traiettoria migliora il rapporto contrasto-rumore rispetto ad una acquisizione convenzionale a zig-zag.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Ljunggren S, A Simple Graphical Representation of Fourier-Based Imaging Methods in J. Magn. Res., vol. 54, 1983, pp. 338-343.
  • Twieg D, The k-trajectory formulation of the NMR imaging process with applications in analysis and synthesis of imaging methods. in Med Phys, vol. 10, nº 5, 1983, pp. 610-21, PMID 6646065.