Equazione ipergeometrica confluente

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In matematica per equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer si intende un'equazione differenziale ordinaria lineare della forma

z\frac{d^2}{dz^2}\,w(z)+ (b-z)\frac{d}{dz}\,w(z) - a\,w(z) = 0

dove a, b e z sono variabili complesse o variabili formali; in genere a e b sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni e di funzioni di z loro soluzioni.

Ciascuna delle sue soluzioni è chiamata funzione ipergeometrica confluente; si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, M(a,b,z) and U(a,b,z), fornite da serie ipergeometriche; la prima la chiamiamo funzione ipergeometrica di Kummer, la seconda funzione di Whittaker. (Ricordiamo che per funzione di Kummer si intende una funzione speciale non collegata alle precedenti.)

La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie M(a,b,z)=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a)_n\, z^n} {(b)_n\,n!}

dove \,(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1) è il fattoriale crescente. Una notazione alternativa è M(a,b,z)={}_1F_1(a;b;z). {}_1F_1(a;b;z) è detta serie ipergeometrica confluente.

La funzione di Whittaker è data da

U(a,b,z)=\frac{\pi}{\sin\pi b} \left[
\frac{M(a,b,z)} {\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)} - z^{1-b}
\frac{M(1+a-b, 2-b,z)}{\Gamma(a) \Gamma(2-b)}
\right]

Esiste una notazione alternativa per  U(a,b,z)=z^{-a} {}_2F_0(a,1+a-b;;-1/z) (vedi il testo di Abramowitz e Stegun). La funzione U(a,b,z) è ancora chiamata funzione ipergeometrica confluente di Tricomi o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi.

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