Equazione ipergeometrica confluente

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In matematica, l'equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l'equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.

Si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, fornite da serie ipergeometriche: la prima è denotata con M(a,b,z) e viene detta funzione ipergeometrica di Kummer, mentre la seconda è denotata con U(a,b,z) e chiamata funzione di Whittaker, in riferimento a Edmund Taylor Whittaker, oppure anche funzione ipergeometrica confluente di Tricomi (da Francesco Tricomi) o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi. Da notare che per funzione di Kummer si intende invece una funzione speciale non collegata alle precedenti.

L'equazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione ipergeometrica confluente ha la forma:

z\frac{d^2}{dz^2}\,w(z)+ (b-z)\frac{d}{dz}\,w(z) - a\,w(z) = 0

dove a, b e z sono variabili complesse (o variabili formali); in genere a e b sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni (e di funzioni di z loro soluzioni).

La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie ipergeometrica generalizzata:

M(a,b,z)= 1 + \frac{a}{b}z + \frac{a(a+1)}{b(b+1)}\frac{z^2}{2!} + \dots =\sum_{n=0}^\infty \frac {(a)_n\, z^n} {(b)_n\,n!} = {}_1F_1(a;b;z)

dove:

a^{(0)}=1,
a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)

è il fattoriale crescente. Le funzioni di Bessel, la funzione gamma incompleta, i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre sono casi particolari della funzione ipergeometrica di Kummer.

La funzione di Whittaker (funzione ipergeometrica confluente di Tricomi) è data da:

U(a,b,z)=\frac{\pi}{\sin\pi b} \left[
\frac{M(a,b,z)} {\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)} - z^{1-b}
\frac{M(1+a-b, 2-b,z)}{\Gamma(a) \Gamma(2-b)}
\right]

Esiste una notazione alternativa per  U(a,b,z)=z^{-a} {}_2F_0(a,1+a-b;;-1/z) (si veda il testo di Abramowitz e Stegun).

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono molte funzioni speciali che possono essere espresse come caso speciale della funzione ipergeometrica confluente:

M(0,b,z)=1 \qquad U(0,c,z)=1 \qquad M(b,b,z)=\exp(z) \qquad U(a,a+1,z)= z^{-a}
e anche:
U(a,a,z)=\exp(z)\int_z^\infty u^{-a}\exp(-u)du
che è un polinomio per a intero non positivo, oppure:
\frac{U(1,b,z)}{\Gamma(b-1)}+\frac{M(1,b,z)}{\Gamma(b)}=z^{1-b}\exp(z)
mentre U(-n,-2n,z) è un polinomio di Bessel per n intero e M(n,b,z) è il polinomio generalizzato di Laguerre per n intero non-positivo.
\mathrm{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right)
M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)
W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)

Rappresentazioni integrali[modifica | modifica wikitesto]

Se \Re (b) > \Re (a) > 0, allora M(a,b,z) può essere rappresentato con forma di integrale:

M(a,b,z)= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}\int_0^1 e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du

dove M(a,a+b,it) è la funzione caratteristica della distribuzione Beta. Per a con parte positiva reale, U può essere ottenuto dalla trasformata di Laplace:

U(a,b,z) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt \qquad \Re (a) >0)

L'integrale definisce una soluzione nella parte destra del semipiano \Re(z)>0.

Polinomi di Laguerre[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di Kummer può essere espressa in diversi modi come espansione in polinomi di Laguerre, ad esempio:

M\left(a,b,\frac{x y}{x-1}\right) = (1-x)^a \cdot \sum_n\frac{a^{(n)}}{b^{(n)}}L_n^{(b-1)}(y)x^n

Teorema di moltiplicazione[modifica | modifica wikitesto]

Valgono i seguenti toremi di moltiplicazione:

\begin{align}U(a,b,z)&= e^{(1-t)z} \sum_{i=0} \frac{(t-1)^i z^i}{i!} U(a,b+i,z t)=\\
                            &= e^{(1-t)z} t^{b-1} \sum_{i=0} \frac{\left(1-\frac 1 t\right)^i}{i!} U(a-i,b-i,z t)\end{align}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Arthur Erdélyi,Whilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter VI.
  • (EN) A. D. MacDonald Properties of the Confluent Hypergeometric Function (RLE Technical Report, MIT, 1948)
  • (FR) Francesco Tricomi (1960) Fonctions hypergéométriques confluentes Mémorial des sciences mathématiques, n° 140, Gauthiers-Villars, Parigi.
  • (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Capitolo 13.
  • (EN) Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 551-555, 1953.
  • (EN) Slater, L. J. Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960.
  • (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 123-124, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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